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[求助] 预初数学题

预初数学题

有11个球,每个球的重量都是整数,任取其中10个,都可以分成重量相等的2组,且每组都有5个球。
求证:每个球重量均相等。.

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这个问题不是初预的啊。
严格来说最好说是高三的。
:).

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任取10个球,其和为偶数。所以这十一个数同奇偶。
如果是都是偶数,将这十一个数统统除以2;如果是奇数,加1再除以2。

以上过程可以重复无限次。
如果有一个不相等,那是不可能的。.

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回复 #2 老猫 的帖子

问题是小子在问我,而且他还嚷嚷着说这是显然的。
显然的,这话不太好说,似有打滚之意。.

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哈哈,说显然就是在打滚。拉出去杖三十。.

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题目中“每个球的重量都是整数"是必要条件吗?如果不是,结论会变化吗?.

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必要的,奇偶性必须整数才行。无穷递降也必须整数才有矛盾。.

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这道题的确来自于某小学奥数测试,我布置过作业,但是问题难度的确太大了。
如果把“整数”这个条件换成“有理数”,这个结果还是成立的。统分、都同乘分母就转换为整数问题了,所以也是成立的。
如果范围扩大到“实数”,构造反例也不容易。.

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有理数就是整数啊,当年有人就为了“万物皆数”被扔到海里去的嘛。

无理数也许也是没有反例的,但是证明也许就不这么简单了。
感觉上无理数也是没有反例的,大概是所有的无理数部分也能分组吧。.

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回复 #7 老猫 的帖子

我想,实数范围内肯定是没问题的,大不了kg换算为mg,或者定义1/7kg等于*kg,根号3kg等于@kg。
总之,总能在数字上变为整数。.

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再探讨,似乎“且每组都有5个球"亦非必要条件。.

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每组五个恐怕是必要的吧。否则有反例:一个9,其他十个1。

否则每个加一,仍然满足条件就不满足了。

[ 本帖最后由 老猫 于 2007-8-25 23:49 编辑 ].

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引用:
原帖由 echooooo 于 2007-8-25 23:20 发表 \"\"
我想,实数范围内肯定是没问题的,大不了kg换算为mg,或者定义1/7kg等于*kg,根号3kg等于@kg。
总之,总能在数字上变为整数。
乱讲

你的这个解释实际上是认为世界上所有的数都是有理数。或者说都是可简约的。:).

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回复 #13 老猫 的帖子

既然1/3米等于1尺,为啥不能说根号3米等于1@尺?
当根号3米等于1@尺时,1米就是无理数个@尺了呀,所以,还是有“有理““无理”之分的。.

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回复 #13 老猫 的帖子

说得有理。
俺在瞎讲,纯属胡闹。

[ 本帖最后由 echooooo 于 2007-8-26 00:42 编辑 ].

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宜将剩勇追穷寇 不可沽名学霸王

既然有人已经说了俺有理,那就要有理到底。

顺便做一下科普工作。
为什么把整数和分数叫做有理数呢?其实这是一个美丽的错误翻译,有理数,英语是“rational number”。“ rational”的常意是理性的、合乎情理的意思。当初小日本把它翻译成有理数,我们又从鬼子那里翻译成中文,于是就发生了这种失误。其实“rational”还有另外一种意思就是比。那么“rational number”就是指:可以精确的表示为两个整数之比的数。这不就清楚了,整数和分数不就是可以表示为两个整数比的数吗?

日本鬼子真的不可信。大家要牢牢记住历史教训啊。.

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回复 #16 老猫 的帖子

1、穷寇莫追,要不寇就就地打滚了;
2、细想本题真的有“显然的”之意——任意性和对称性,比方说将“重量”改为“颜色”。.

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回复 #18 aigleracer 的帖子

有漏洞.

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回复 #18 aigleracer 的帖子

当然有漏洞,换一个球,可以换左右的原来的球的。.

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回复 #13 老猫 的帖子

好复杂啊!.

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回复 #14 echooooo 的帖子

什么叫1@尺?.

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回复 #22 yangshxi 的帖子

哦,那是兄弟随便杜撰的。
意思是,定义1@尺=根号3米。
于是,诸如2根号3米就等于2@尺了,目的是为了将无理数“根号3”转化为有理数。.

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这个问题对于实数也成立,把11个相等条件看成11个线性方程组,用线性方程组的基础解系来解决。这个问题放到中学确实不太合适,如果是整数的话,中学高年级倒可以试试,学习无穷下降这种思想。.

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回复 #26 xyq2100 的帖子

实际上就涉及数学学什么的问题了。

如果通过这一道题目,能让孩子有一种无穷递降的感觉。那就赚了。

我一般来说要用求证根号2是无理数,来让孩子感觉一下无穷递降。.

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什么是有实际意义这个问题本来就是难以回答的深奥问题,体操、跑步、奥运乃至其它与吃饭没有关系事情哪些有实际意义?花时间搞清楚这些问题,可能一生也就过去了,“研究哪些问题有实际意义”有没有实际意义?
存在就是合理的,相信小孩到了学奥数的年龄的时候,家长大多也能逐步理解这个道理。
奥数和体操比较接近,可以说是思维体操,通过学习奥数,能够锻炼思维能力,培养严谨的逻辑思考能力。里面涉及到的定理、定义,绝大多数都会忘记,但是无形中提高的“功力”是伴你一生的。奥数本身的学习过程难道不是很有趣的人生体验?不是每个人学习奥数都要去参加IMO的,就如同人人锻炼身体但只有少数人参加奥运会。
有不少人回过头认为学习奥数对自己有害,这很正常,比如也有很多人认为读大学、读书、工作对自己也没有多大的用。
你小孩可能比你更适合学习奥数,你小孩的家长可能比你的家长出色,你提供给小孩的环境可能好于你家长提供给你的环境,你小孩的奥数老师可能好于你以前的奥数老师。。。。。。
好的数学也是一门艺术,学习过程中也能够体会到一种“美”。
我还体会到另外一个来自奥数的好处:因为很忙平时和小孩交流的较少,一年以来通过和小孩共同探讨、学习奥数问题,父子间加强了了解,相互欣赏促进了交流和感情,所以也可以算是一种高层次的亲子活动。
喜欢你要做的每一件事,喜欢你即将做的每一件事。

[ 本帖最后由 wood 于 2007-8-31 08:01 编辑 ].

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我同意aigleracer兄反对全民学奥数,但是反对他认为奥数是小聪明、无用的想法。

所谓“无用乃大学”
如果奥数看不到任何作用,那它的存在就变成一件很可疑的事情。
个人认为奥数,甚至整个数学学科,其可以应用的部分都是极小部分。甚至有人要将应用数学赶出数学系。:)
数学给整个人类带来的是一种思维。是一种渗到你骨子里面的东西。很多年前,美国有个邮包炸弹杀手,写了一篇批判工业时代的檄文。结果立刻有人认出来,说这个邮包杀手至少是一个数学博士。这就是不经意之间,已经被渗透了。
学数学的人,也许会被人认为呆。但是他这种“呆”其实是大多数人无法理解的一种执着。你说的大多数学了数学的人去做金融等等事情,没有错,因为他们没有那种执着,有这种执着的人是很少的。放弃数学的人做了其他的事情,也许碌碌无为,也许大红大紫,但是他们的心中已经打下了数学的烙印。
有学生问过我,你将来能成为一个数学家吗?答,“不可能,我没有那份执着,也没有那份天赋,将来能被称为‘数学教育家’就满足了。”

所有的事情要一分为二,全民学奥数也是一样。
坏处aigleracer兄已经说的够深刻了,我再补充一点:由于全民学奥数,大量的孩子被迫在题目中沉浮,结果会严重打击他们玩自己喜欢的东西,造成千人一面。
好处也是有一点点的:就是那些原本要很久以后,到了社会上才会被发现的执着之人,在初中甚至小学就被发现了。于是针对他们有了更好的教育。

我们讲有教无类,但是也要讲因材施教。如果一个不适合学奥数的在学奥数,那是一种浪费;但是一个适合学奥数的被放过了,也是一种浪费。.

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