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[数学] 2007-10-4

1楼老猫

老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2007-10-4 08:33 只看此人

2007-10-4

凸五边形ABCDE中，已知S△ABC＝1，且EC∥AB，AD∥BC，BE∥CD，CA∥DE，DB∥EA。试求五边形ABCDE的面积。.

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2楼echooooo echooooo (想学游泳的鱼) 发表于 2007-10-4 12:05 只看此人

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3楼echooooo echooooo (想学游泳的鱼) 发表于 2007-10-4 12:12 只看此人

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不用解析几何大概是难做的。

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4楼老猫

老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2007-10-4 12:21 只看此人

没有说过是正五边形哦，只说了是凸的。
不要用到解析几何的。.

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5楼duyan duyan (......) 发表于 2007-10-4 14:15 只看此人

设大三角形为a，小三角形为b，中间五角形为c（可以证明5个a相等，5个b也相等）
2a+b=1，
c+2b＝1
(a+b)/a=1/(a+b)
S=5(a+b)+c=3(2a+b)+(c+2b)-a=4-a
解得：a＝（3-根号5）/2
S=(5+根号5)/2.

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6楼老猫

老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2007-10-4 14:16 只看此人

（可以证明5个a相等，5个b也相等）

我不太相信这个容易证明。.

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7楼duyan duyan (......) 发表于 2007-10-4 14:34 只看此人

利用同底等高得出（因为平行的）：
S△abc=S△bcd=S△cde=S△eda=S△eab=1
设S△abc内三个三角形依次是a1/b1/a2, 沿着△abc逆时针的小△分别是b2, a3, b3, a4, b4, a5, b5和中间的五角形c
c+b1+b3=1(利用平行四边形对角线两边面积相等)
c+b1+b4=1
因此，b4=b3，以此类推，b1=b2=b3=b4=b5=b
a1+a2+b=1
a1+a5+b=1
因此，a2=a5，以此类推，a1=a2=a3=a4=a5＝a.

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8楼duyan duyan (......) 发表于 2007-10-4 14:43 只看此人

只有求解出这个相等关系后，才好做五角形的面积了。.

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9楼老猫

老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2007-10-4 15:43 只看此人

原来我的做法不用相等关系的。
首先推出有五对平行线，然后就可以知道面积是3+a+b。而a+b可以用相似性质做的。
但是你这个做法用到的知识点较少，应该算你的做法较优。.

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10楼duyan duyan (......) 发表于 2007-10-4 15:58 只看此人

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过奖了。.

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11楼echooooo echooooo (想学游泳的鱼) 发表于 2007-10-4 19:57 只看此人

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(a+b)/a=1/(a+b)
能否讲具体点？

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12楼老猫

老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2007-10-4 20:24 只看此人

引用:

原帖由 echooooo 于 2007-10-4 19:57 发表 $\"\"$
(a+b)/a=1/(a+b)
能否讲具体点？

同高的两个三角形的面积之比就是它们的底边之比。.

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13楼duyan duyan (......) 发表于 2007-10-4 20:39 只看此人

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引用梯形abce对角线分割成四块面积，在对角线的斜边之比等于面积之比：
(a+b)/a=(c+2b)/(a+b)，而c+2b＝1，得：
(a+b)/a=1/(a+b).

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14楼echooooo echooooo (想学游泳的鱼) 发表于 2007-10-4 20:39 只看此人

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为何底边就是a和(a+b)呢？

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15楼echooooo echooooo (想学游泳的鱼) 发表于 2007-10-4 20:50 只看此人

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明白。

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16楼duyan duyan (......) 发表于 2007-10-4 20:51 只看此人

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不好意思，斜边之比等于了对角线两边的面积之比，刚才没有交代清楚。
a+b和a之比等于斜边之比，
(c+2b)和(a+b)也等于斜边之比，故：
(a+b)/a=(c+2b)/(a+b)等式成立。.

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17楼echooooo echooooo (想学游泳的鱼) 发表于 2007-10-4 20:55 只看此人

实际上就是，在梯形对角线形成的4个三角形中，对角的2个三角形的面积乘积相等。.

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18楼echooooo echooooo (想学游泳的鱼) 发表于 2007-10-4 23:16 只看此人

如果倒过来，若五边形面积为1，问三角形abc的面积，结论就更美妙了，等于黄金分割再除以根号5。

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19楼echooooo echooooo (想学游泳的鱼) 发表于 2007-10-4 23:17 只看此人

就凸五边形而言，满足条件的必是正五边形，如何证明？
是否存在满足条件的凹五边形？

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20楼老猫

老猫 (谦虚使人进步，骄傲使人快乐。) 发表于 2007-10-5 08:33 只看此人

就凸五边形来说，满足要求的不一定是正五边形。.

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21楼echooooo echooooo (想学游泳的鱼) 发表于 2007-10-5 11:47 只看此人

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能否举个例，画个图？

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[数学] 2007-10-4

2007-10-4

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引用:

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