19、有个20位数2005xyzxyzxyzxyz2005既是27的倍数，也是37的倍数，求x+y+z=?
这道题的难点在于缺乏37倍数、27倍数的判定办法，学生感到难以下手，主要是固定思维模式所致。要验证a是b的倍数，通常采取先分解b，再逐步验算b的每个素因子是不是同时也是a的因子，当然大多数时候这是很有效的。我们把这种方法叫做“化整为零”。
这道第19题思考过的同学肯定会发现“化整为零”很难走通。我们不妨“化零为整”，详细叙述起来繁琐一些，作为填空题其实还是省力的：）
相乘我们发现37×27=999！，a×1000≡a（mod999）所以把一个数的任何一个或几个数字移动三位后，除以999的余数保持不变。本来是999倍数的，移动后肯定还是999的倍数，所以7xyzxyzxyzxyz7是999的倍数，进而xyzxyzxyzxyz707是999的倍数，最后把4个xyz都移动到后三位得到4xyz+707=999k，显然k是不大于4的正整数，同时999k-707是4的倍数，只能有k=1，故xyz=73=（073），故x+y+z=0+7+3=10。
这里主要是要注意到，虽然我们把xyz看成一个数来处理的，但是x并不是整个数的首位，所以还是可以是0的。
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本帖最后由 wood 于 2007-11-12 09:27 编辑 ].
