[数学] 数学难题

将6个球编号为1，2，3，4，5，6号球，设好球重量为a，坏球重量为b。

第一次用秤称1、2、3号球的重量，得到三个球重量GA。
第二次用秤称1、2、4、5号球的重量，得到四个球重量GB。

现进行第一次判断，看是否满足等式 GA/3=GB/4。

如满足GA/3=GB/4，则说明1－5号球均为好球，6号球为坏球。第三次用秤称6号球的重量，即可得坏球重量b，好球重量a＝GA/3=GB/4。

如GA/3≠GB/4，则说明坏球在1－5号中，6号球为好球。而坏球的分布情况只可能是以下三种情况：
①1、2、3号球为两好球一坏球，重量和为GA=2a+b；1、2、4、5号球为四好球，重量和为GB=4a。则此情况下可判断3号球为坏球。
②1、2、3号球为两好球一坏球，重量和为GA=2a+b；1、2、4、5号球为三好球一坏球，重量和为GB=3a+b。则此情况下可判断坏球必在1、2号球中。两次称重差＝好球重量a。
③1、2、3号球为三好球，重量和为GA=3a；1、2、4、5号球为三好球一坏球，重量和为GB=3a+b。则此情况下可判断坏球必在4、5号球中。两次称重差＝坏球重量b。

第三次用秤称1、4号球的重量，得到两个球重量GC。此时1、4号球的组合只可能有两种情况：两好球，重量GC=2a 或一好球一坏球，重量GC=a+b。

现进行第二次判断：

1）看是否满足等式 2GC=GB。如满足，则说明1、2、4、5号球好球，3号球为坏球，为情况①。此时可得好球1、2、4、5、6号球，重量a=GC/2，坏球3号球，重量b=GA-GC。

2）若2GC≠GB，看是否满足等式 GC=2(GB-GA)。如满足，则说明3号球为好球，GB-GA=a，GC=2a（因为2a≠2b；a+b≠2a；a+b≠2b）。进而推断1、4、5号球好球，2号球为坏球，为情况②。此时可得好球1、3、4、5、6号球，重量a=GC/2，坏球2号球，重量b=GA-GC。

3）若2GC≠GB且GC≠2(GB-GA)，看是否满足等式 GC/2=GA/3。如满足，则说明1、2、3、4号球为好球，5号球为坏球，为情况③。此时可得好球1、2、3、4、6号球，重量a=GC/2，坏球5号球，重量b=GB-GA。

4）若2GC≠GB且GC≠2(GB-GA)且GC/2≠GA/3，则说明1、4号球必为一好球一坏球的情况，而2、3、5号球为好球。再看是否满足等式 2(GA-GC)=GB-GC。如满足，则说明4号球为好球，1号球为坏球，为情况②。

推导过程如下：
∵2(GA-GC)=GB-GC。
∴2x（1球+2球+3球-1球-4球）＝1球+2球+4球+5球-1球-4球
∴2x（2球+3球-4球）＝2球+5球
又∵2球＝3球＝5球＝a
∴2x（2a-4球）＝2a
∴4球＝a，为好球

此时可得好球2、3、4、5、6号球，重量a=GB-GA，坏球5号球，重量b=GA+GC-GB。

5）若2GC≠GB且GC≠2(GB-GA)且GC/2≠GA/3且2(GA-GC)≠GB-GC，则说明4号球必为坏球，1、2、3、5号球为好球，为情况③。此时必应满足2GA=3(GB-GC)，验证一下即可。

此时可得好球1、2、3、5、6号球，重量a=GA/3，坏球6号球，重量b=GB-GA。.