两奥数老师见面

话说某天，某两各自对对方仰慕已久的奥数老师见面了。

两人看上去年龄相仿。

甲：我属龙的。
乙：真巧，我也是。
甲：你几月的？
乙：你猜。
甲：哼，不说我也知道。我有三分之二的概率比你大！快叫哥！
乙：胡说！我有三分之二的概率比你大差不多！
甲：这么说我还是比你大一星期。

请问甲乙两人的生日。假设他们都用阳历。

[ 本帖最后由 火车是运茶的 于 2014-8-9 15:34 编辑 ].

儿子不知道从哪里学来的一笔画、欧拉原理。要讲给我听。我想就这样岂不是太便宜这小子么。于是我提了两个问题：

1、我们已经知道能够一笔画成的图必定有零个或两个奇数点。那么反过来，是否具有零个或两个奇数点的图（连通的）一定能够一笔画成。
2、如果已经知道一张图能够一笔画成并且没有奇数点，请问这张图是否从任意一个点开始都可以一笔画成。

儿子带着问题睡觉去了。.

有愿意尝试一下的网友么？.

两个都是对的，数学归纳法即可。.

第二个问题如何用数学归纳法？.

第二个问题不用数学归纳法。
是第一个问题的显然推论。.

从辅导小孩的角度讲，第二个问题更加简单，可以跳过第一个问题直接尝试。.

其实两个问题是等价的。

即使从尝试出发，也是第一个问题容易。
因为知道开头在哪里比随便选个点就能做更容易理解。.

两个问题等价吗？恐怕要再考虑一下。

我的目的不是快速教会小孩解题，而是希望用问题带着他玩转数学。现在披露一下小火车目前给我的解答：

1、我们已经知道能够一笔画成的图必定有零个或两个奇数点。那么反过来，是否具有零个或两个奇数点的图（连通的）一定能够一笔画成。
在具有两个奇数点的图上添加一根线把这两个点连起来，这个图就变成了全都是偶数点的。

2、如果已经知道一张图能够一笔画成并且没有奇数点，请问这张图是否从任意一个点开始都可以一笔画成。
如果图形具备某种对称性，那么至少如果从其中一点出发可以一笔画成，则从与之处于对称地位的点出发也可以一笔画成。.

对于第二个问题，小火车目前卡壳了。我给的提示是：

已经知道从某个点开始可以一笔画成了，那么另换一个点开始，到底有什么不同呢？.

第一个问题的解答，他已经给出了两个问题的联系了。
不错的想法。
关键是如何简化问题。

事实上第二个问题相当难处理。.

这就要学会玩数学了，如果把一笔画问题变换成其它问题，第二个问题其实可以迎刃而解。.

甲4/3生日，已4/10生日
对伐？.

是5/3和5/10?.

没错.

>已经知道从某个点开始可以一笔画成了，那么另换一个点开始，到底有什么不同呢？

在我给出这个提示之后，小火车很肯定地说从其它点开始也是可以一笔画成的。但是由于时间关系，具体过程我们还没有展开。.

这什么问题啊？太难了，我这个大人想想也头痛，居然还有孩子愿意想的！.

你不要告诉他这是难题嘛.

我虽然自认为逻辑严密，可一看到这类问题，脑子就翁地一声就想逃。怎么办？.

小火车说，可以借助从某点出发的已知一笔画路线完成任意点出发的一笔画。

有这个想法就可以了。具体表达不完全是这样。.

在看似无从下手的问题面前稳定下来，仔细寻找可能入手的地方，正是好的教育所需要培养的素质。

而那种先教套路，再给练习题巩固的方式，只是在培养解体机器和恶劣的解题习惯。.

再扩展一下，其实还没来得及跟小火车讲：

可以把一笔画问题变换成，嗯，贪吃蛇问题。为什么呢，想象一笔画的过程，像不像一条蛇吃过去？如果把画的线想象成好吃的珠子，吃完就没有了，那么一笔画就是看贪吃蛇从某个点开始能不能一路吃过去。

而这里的第二个问题，就是已经可以一口吃完了，能不能从其它点出发一口吃完。那么既然能够一口吃完，从哪个点出发只是先吃后吃问题嘛。

另外一个模型是把一笔画想象成一根线，交点不打结的，一笔画完，正好得到一个圆圈。而所谓的一笔画起点的选取，无非是在这个圆圈上随便找个点而已。这就是我在12#说的，第二个问题其实可以非常简单。.

一张图只有偶数点并且可以一笔画成。任意选定一条一笔画路线，并且给任意两点之间的连线按照画画的方向标上箭头。那么每个点都有一样多的进入箭头和出发箭头。

问题：是不是从任意点出发，沿着箭头方向任意前进（意为从某点出来可能有多个出发箭头，任取一个），是不是都可以完成一笔画？.

还可以忽略箭头，把问题变成：能一笔画成的图且只有偶数点的话，是不是随便怎么画都成？.

这个可以很容易构造反例.

挺有趣的，回家让孩子试试.

小明今年10岁，妈妈40岁。几年以后妈妈的年龄是小明的3倍？几年后又变成两倍？

这是最常见的动脑筋题目了。小孩子初次见到这个题目的话，多半是不会解的。这时候家长最好不要急着教解法，一教，就毁了一道好题目。应该让孩子自己去琢磨，家长可以从旁辅导。辅导要点如下：

1、如果孩子茫无头绪，可以让孩子尝试猜一下。比如，过一年会怎么样，41对11，貌似比3倍还多矣。过两年呢，42/12，还是多；过5年呢，哈，正好。继续这个尝试的过程，体会这个年龄倍数不断变小的过程，看看什么时候到两倍。函数的思想在潜移默化中就悄悄埋下了种子。进一步，可以问什么时候到一倍，体会一下极限的感觉。

2、如果孩子反应良好，可以往回追溯。刚出生时候小明1岁，爸爸31岁，爸爸的年龄是小明的31倍。小明两岁的时候，倍数变成16，下降得很快。越往后倍数下降得越慢，但是总是到不了1.

3、另一条路，要学会从变化中寻找不变性。仍然引导孩子。比如，一年一年往后加，家长说小明次年11岁，孩子应该回答爸爸是41岁；然后家长说小明变12岁了，孩子应该回答说爸爸42岁。如是若干次，再问孩子有没有发现这里有什么规律。如果孩子不明所以，再提示有什么不变的。后面如果孩子回答是年龄之差，那就可以了。如果孩子没有想到，也不要着急，可以让孩子自己再思考，也可以直接告知。下面应该就会解答了。.

关于1和2，可以画一个图，横坐标是小明年龄，纵坐标是爸爸年龄（题目里面是妈妈，后来全变成爸爸了），会更加直观。.

生日那题我做出来喽，儿子在我的启发下也做出来了，不过我的启发比较严重呵呵。.

数学可以用来描述变化，比如，用函数可以精确地描述一些变动中的关系。例如，路程是速度和时间的函数，27楼的年龄倍数是双方年龄的函数，同时也是时间的函数（年龄每年变化，倍数也是每年变化）。这是数学有用的一方面，它可以用精确的形式描述一些关系。

在变化中总会有一些不变的东西。抓住不变性，就如同在千变万化中找到定海神针，不会迷失方向。例如，德国数学家克莱因研究几何图形在各种变换下的不变性质，给几何学分类。物理学中有各种守恒定律，如能量守恒、动量守恒等。化学中有质量守恒。

在初等数学中，把握不变性也是很重要的。比如，27楼。再看看隔壁的例子：

引用:

原帖由 我是乐乐妈 于 2013-5-21 10:18 发表
举个例子：爸爸今年30岁，小明今年7岁，多少年后两人的年龄和是51岁？
按照“真正的奥数方法”，应该是套用和差问题，画线段图解答。
乐乐的解法是：[51-（30+7）]/2=7(年)  
他的解释：今年年龄和37，与51差14，这是爸爸长的岁数和小明长的岁数的和，爸爸和小明长的岁数同样多，所以除以2。

有两位当年的数学竞赛高手，听我说了这个例子，都觉得应该鼓励孩子的解法，而非一味要求标准解法。

为什么这种解法会被认为是值得鼓励的？因为它抓住了这道题的关键。年龄会变化，年龄之和也会变化，但是年龄之和每年增长一个不变量，这就是关键，是变化中的不变关系。.

值得鼓励.

引用:

原帖由 火车是运茶的 于 2013-5-22 22:08 发表
数学可以用来描述变化，比如，用函数可以精确地描述一些变动中的关系。例如，路程是速度和时间的函数，27楼的年龄倍数是双方年龄的函数，同时也是时间的函数（年龄每年变化，倍数也是每年变化）。这是数学有用的一方 ...

找到你的楼里来了

先谢谢你在隔壁楼里对乐乐的鼓励

真是用心的家长(是爸爸吧?), 向你学习!.

引用:

原帖由 火车是运茶的 于 2013-5-21 20:57 发表
小明今年10岁，妈妈40岁。几年以后妈妈的年龄是小明的3倍？几年后又变成两倍？

这是最常见的动脑筋题目了。小孩子初次见到这个题目的话，多半是不会解的。这时候家长最好不要急着教解法，一教，就毁了一道好题目。 ...

这道题, 乐乐最初的想法是凑数字, 例如:11*3=33, 但33-11不等于30(年龄差), 所以他一个个试下去,直到15*3=45为止。当然,经过奥数课以培训,他就套用差倍问题模式来解了。.

我在想一个恶作剧，就是问一下，几年后妈妈的年龄是小明的六倍。看看孩子们是怎么解决这个问题的，凑数字的时候会不会意识到其实是几年前。

另外你猜对了，我是爸爸。.

某数学竞赛压轴题：一个圆上有四个点，分别标上数字2，0，1，2. 如果每次可以给其中一个数字加上1，则很容易可以让所有数字变为相等的。在另一个圆上取四个点，分别标上2，0，1，3. 如果每次都要给其中三个数字各自加1，请问如何让所有数字变为相等。.

这道题其实蛮容易的，凑凑数也可以。但是如果把数字变得更加复杂，凑数就比较难了。不过，只要能适当变换问题，还是可以迎刃而解的。现在看看这个问题的一个更难的变化：

一个圆上有五个点，分别标有数字1，2，3，4，5。每次可以从中取两个数字各自加一，请问能否使得所有数字相等？如果限制每次只能取相邻两数各自加一呢？如果限定每次只能取不相邻两数各自加一呢？.

不好意思 才看到留言.

.

提示：经过适当变换后可以变成类似35楼的问题.

给3个数字加1,等于把第4个数字减1. 一直减到4个数字相等，就可以了。.

都成立啊.
1,2和3,4都加1后，等于第5个数字减1.
或者1,3和2,4加1后，等于第5个数字减1.
然后就变成35楼的题目了。.

.

某医院住院部，每间病房有四张病床。排病床号的时候要避开不吉利数字如4，14，24等。已经知道某层楼的最高病床号是七十多，请问该层楼一共有几个病房，最多能入住几个病人？.

数学家写的，很有意思，大家看看，有问题可以跟帖提问。
http://math.cersp.com/Hotspot/online/200509/868.html

回姜伯驹院士——“新课标让数学课失去了什么”
作者：何小亚    文章来源：转载    点击数：18347    更新时间：9/27/2005

近日，读了《光明日报》教育周刊（2005年3月16日5版）对中国科学院院士姜伯驹先生的专访，知道姜伯驹先生在刚刚结束的“两会”上提交了一份提案，指出正在实行的“新课标”，即《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》存在比较“严重的”问题。笔者非常敬佩姜伯驹先生关心基础教育，力排众议，积极行使政协委员权利的行动。但对姜先生的一些观点不敢苟同。
1.姜先生认为：“这个‘新课标’改革的方向有重大偏差，课程体系完全另起炉灶，在实践中已引起教学上的混乱。”
课程改革对教材的处理不外乎两种类型：一是体系几乎不变，内容修修补补，增增减减；二是在保持原来基本内容的基础上，重新构建新体系。我们国家从解放初至今，数学教育几乎是每隔十年就有一次较大的改革，这些改革都属于第一种。但值得我们注意的是，改革的实践并没有表明，我们国民的数学素养有了多大提高，有越来越多的人喜欢数学。相反，倒是有不少人讨厌数学。君不见我们培养出来那么多的奥林匹克选手还有几个在玩数学呢？就拿我国的数学研究水平来说，王元院士和丘成桐院士都经常在各种场合说中国的数学研究水平离世界一流水平还差得很远很远。教育部的调查表明（刘兼，孙晓天主编. 全日制义务教育数学课程标准（实验稿）解读. 北京师范大学出版社，2002.5. P71~78）：旧课程存在着诸多有目共睹的问题，比如反映在学习内容上的问题：“过分追求逻辑严谨和体系形式化；学习内容在不同层度上存在“繁、难、偏、旧”的状况；数学教材类型贫乏，选择余地很小。“又比如在学习方式上反映出来的问题：“学生数学学习的方式以被动接受方式为主要特征；对主动获取知识以及学会学习的能力、态度、习惯、方式的培养重视不够；借助信息技术手段进行数学实验和多样化的探究或学习，拓展自己的学习空间，仍是一个相当薄弱的方面。”数学新课程改革是在广泛汲取了发达国家课程改革的经验后采取第二种方式。既然第一种方式仍存在着那么多问题，我们为什么不可以“另起炉灶”呢？至于说教学上出现的一些“混乱”也是很正常的。我们不能因为教学上出现一些“混乱”就墨守成规，固步自封。姜先生承认, 学生的学业负担跟数学课程内容的多少没有关系，主要责任在考试．现在数学新课程教学中出现的“乱”也还是由考试这个指挥棒引起的．事实上，大多数老师和家长都欢迎新课程，但又害怕升学考试还是按以前的旧方式进行．由于担心自己的学生、孩子考试吃亏，于是就出现了“家长找老师补课，补旧教材，穿新鞋走老路．”的现象．这种现象会随着考试制度改革的深入而消失．

2.姜先生说：“‘新课标’与此前许多年实行的几个数学教学大纲相比，总的水准大为降低。这个方向是错误的。”

如果没有理解错误的话，姜先生所说的“水准”应指的是数学知识的难度。数学教材知识难度的高低并不能说明数学课程的优劣。美国六七十年代搞得轰轰烈烈的“新数学”课程改革，实际上是增加教材知识难度，强调公理化演绎推理和数学结构的一项改革，结果以失败而告终。我国目前的“全民”所学的奥数，也因其过难所造成的公共危害而被叫停。姜先生作为一个研究纯数学的数学家，担心数学教材“水准”的降低而使国人的数学水准降低，这是可以理解的。但是，这个问题可以从两个方面去看。

首先，在这个信息呈几何级数增长的社会，有许多比纯数学知识更重要的信息需要我们的学生去处理，我们没有必要让每个学生都学统一的公理化数学。也就是说，社会是一个复合体，我们需要纯数学理论型的人才，也需要应用数学型的人才；我们需要传播数学的人才，也更需要大量的各行各业的技能型人才。1929年和１９３０年，清华大学并没有因为钱钟书先生的数学考了15分，吴晗考了０分而分别将两人拒之于门外。这几十年，中国的基础教育数学教材虽然有“水准”，但我们培养的学生的创新能力如何呢？又培养了几个数学大师呢？

其次，新课标的“水准”真的是总体水平比多年实行的几个数学教学大纲低吗？从姜先生的讲话（“不讲证明，数学课就失去了灵魂。”）中我们发现，姜先生非常看重数学推理证明。不过，您所说的数学推理证明仅仅是数学中的一部分，属于演绎推理的范畴。数学需要演绎推理，但从科学发现的角度来说，更需要合情推理。合情推理是符合情理（经验）但并不具有必然性的推理。大多数数学概念的提出和数学定理的发现，先是通过合情推理的方式提出假说，然后经过演绎推理的论证才得出来的。由于我们过去太注重形式运演的演绎推理，忽视了科学发现的合情推理，所以造成了我们的学生习惯于解答别人给的现成问题，学得越多，就越来越不会发现问题，提出问题和解决真正的问题。这也就是我们的数学落后的真正原因。有感于此，已故数学家陈省身先生曾经寄语国内的数学工作者：“要在本土上有自己的问题， 让外国人跟着我们的问题做。”新课程不是不讲推理证明，而是将其分散于不同的阶段。与旧课程相比，形式化的演绎证明被淡化，但用于科学发现的合情推理则被重视。这是基于数学教育的最终目标——发展学生的科学创新意识和动手实践能力的需要而作的改革。因此，从逻辑演绎和局部知识点的角度看， “新课标”的要求在降低，但从科学发现和创新以及知识体系的角度看，“新课标”的＂水准＂不是降低了而是提高了。经过四年多的教学实验，教师们已体会到逻辑演绎好教，合情推理难教。

3.姜先生之所以对＂新课标＂的数学课程体系颇有微词，是因为先生心目中的数学就是科学数学．前苏联数学家阿.尼.柯莫戈洛夫（1903-1987）提出，数学以其高度的概括性、逻辑的严谨性和应用的广泛性为特征。他这里所说的数学就是科学数学。当今世界的数学教育已发生了很大的变化，数学教育的内容不是科学数学本省，科学数学仅仅是数学教育的资源库。对科学数学提供的素材进行教学重构就得到“教育数学”（此术语的原创属张景中院士），它才是数学教育的内容。数学是什么？数学已不仅仅是纯粹数学，应用数学正扮演着越来越重要的角色．公理化和逻辑论证这些整理数学的思想固然重要，但找关系，发现规律的数学创造更重要．数学教育的基本问题是“教”与“学”的问题，即你如何教，教到什么程度？你如何学，学什么？是注重形式计算，还是注重理解与实际应用？是注重严谨的定义，还是注重本质的思想？是注重结论的演绎论证，还是注重结论的发现过程？新的数学教材打破了传统教材过分强调知识内容本身的完整性和统一性这一束缚，淡化知识体系，以课题为主线。通过“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用或课题学习”四部分内容的相互渗透，以反映数学的各个领域之间，数学与自然，数学与社会，数学与科学之间的联系，更高层次地体现数学的整体性和统一性。

4.姜先生认为，“照这样的‘新课标’,很难培养学生分析问题与逻辑推理问题等方面的能力，更谈不上创新能力的培养。教育的效果是滞后的，十年以后，长大成人的这一代中学生理性思维能力不强，就悔之晚矣。”

第一，逻辑推理能力的培养并不是仅仅靠数学的形式证明来培养的．我们不否认命题＂通过学数学能培养学生的逻辑推理能力和理性精神．＂但这一命题的逆命题并不真，也就是说，培养学生的逻辑推理能力和理性精神并不一定要通过学数学．因为逻辑推理包括形式逻辑推理和辩证逻辑推理．在形式逻辑方面，要求思维主体遵守形式逻辑的基本规律（同一律、矛盾律、排中律、充足理由律），也就是说，在推理过程中，概念和判断必须保持一致性，判断不自相矛盾，不模棱两可，要有充分的根据。其表现形式主要有分析、综合、抽象、概括、比较、分类、归纳、演绎、系统化、证明、反驳等等．而在辩证逻辑方面，要求主体运用辩证的观点去处理所面临的问题，即表现为思维过程的辩证法。例如：客观事物是不断地运动、变化、发展着的；事物的发展变化遵循着对立统一规律、质量互变规律和否定之否定规律。化陌生为熟悉、化繁为简、正难则反、顺推与逆推之结合、动与静之转化、一般与特殊之互化。这些思维形式都是一般的科学思维方法，在社会科学和自然科学中俯拾皆是．尽管钱钟书先生的数学只考了1５分，但有人用电脑对其作品《围城》进行统计分析，竟然没有一个逻辑性的错误．著名的时事评论家，原《羊城晚报》总编辑许实（微音）先生的数学长期不及格，但其对时弊的评论分析却是丝丝如扣，有理有据，入木三分．就是这样一个数学长期不及格的“学生”竟然使“街谈巷议”专栏成为了论理的名牌专栏．又比如人们在过马路时的“左顾右盼，没车才过来”原则，就是逻辑推理中三段论的具体运用．再比如逻辑学，推理小说，以及大量充斥于各种媒体的逻辑推理趣题和推理断案，都在帮助我们建构自身的逻辑框架。事实表明，我们天天都在学习逻辑，运用逻辑，生活中到处是逻辑．可以这样说，没有生活，就没有鲜活的逻辑推理，而“低水准”的数学，并未使逻辑推理的大厦坍塌。换句话说，数学对人的逻辑推理能力的培养只是一条充分而非必要的条件。

第二，数学创新能力的培养靠的不是逻辑推理，而是合情推理．回顾数学的发展历程，数学结论的发现和创新主要靠的是实验、观察、估算、类比、归纳、联想、想象、猜测等合情推理，而逻辑推理则只是真理在手后的论证．数学家拉普拉斯曾说：“数学中达到真理的主要方法，是归纳和类比．”数学家欧拉也说过：“今天已知的数的性质，大部分都是通过观察发现的，并且远在能严格证明它们之前，就被发现．” 中国科学院数学与系统科学研究院吴文俊院士指出：“学校里给的数学题目都是有答案的，已知什么，求证什么，都是清楚的，题目也一定是做得出的。但是将来到了社会上，所面对的问题大多是预先不知道答案的，甚至不知道是否会有答案。这就要培养学生的创造能力，学会处理各种实际数学问题的方法，但要做到这一点，光凭逻辑推理是不够的。”

过去，我们总是把数学的逻辑推理功能放大，已造成因小而失大的后果．现在，我们应该给数学“减负”！

5.姜先生说：“三角形内角和等于180度这样的基本定理也不要求讲证明，”这是对标准的误解。标准中第42页的“(2)掌握以下基本事实作为证明的依据”，给出了平面几何推理的四条（实际上是六条）“公理”。而在第43页的(3)中明确指出：

“（3）利用(2)中的基本事实证明下列命题[1]：

① 平行线的性质定理（内错角相等、同旁内角互补）和判定定理（内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行）。
② 三角形的内角和定理及推论（三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大 于任何一个和它不相邻的内角）。
③ 直角三角形全等的判定定理。
④ 角平分线性质定理及逆定理；三角形的三条角平分线交于一点（内心）。
⑤ 垂直平分线性质定理及逆定理；三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）。
⑥ 三角形中位线定理。
⑦ 等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理。
⑧ 平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。”

这些白底黑字的内容都清清楚楚地告诉我们，社会上传言的“没有了”、“不要求证明了”的“三角形内角和定理”、“梯形中位线定理”等，其实在“新课标”里都有，都要求，而且内容更多，要求更高。

不可否认，作为新生儿的“新课标”存在着许多问题，我们应本着爱护、完善、公正的态度去对待她。评价“新课标”，应当先熟悉“新课标”。不仔细研究“新课标”，仅凭道听途说就指责“新课标”，这是不理性的。

既然承认教育的效果是滞后的，那么在旧课程问题多多，而又没有充分的证据否定“新课标”时，我们不应该随便叫停“新课标”．“数学家谈数学教育改革，不能只从培养数学家的角度来看问题。一万人口中顶多有一两个数学家，不能用数学家的要求来指导中小学数学教学。我们常常以自己如何走上数学道路的经验来判断是非，那是不全面的。”(吴文俊语)

最后想指出的是，笔者十分同意姜先生的建议，课程改革要渐进，不能操之过急，搞全国一刀切，应该允许地区之间的改革进程存在差异．（全文完）

[作者简介：何小亚，男，1964.11。硕士，华南师范大学数学系副教授，硕士生导师。广东省数学会理事，广东省中小学教师继续教育数学教研中心组成员，广东省高师数学教育研究会秘书长，《中学数学研究》编辑，广东省奥林匹克学校数学教练。主要从事数学教育方向的教学和研究工作。参与完成国家级教育科研项目一项，广东省教育科研项目3项；在省级以上刊物发表论文50余篇，出版或参与出版著作8部。1987年9月获得贵州省“优秀科技辅导员”光荣称号，并获得“科学园丁奖”， 1995年9月获得华南师范大学教书育人个人优秀奖，1997年5月获得广东省教学成果二等奖，2000年12月获得华南师范大学“为了明天”教学奖中青年教师课堂教学优秀奖二等奖，2002年3月获得华南师范大学“课堂教学质量优秀教师”光荣称号，长期从事数学竞赛教练工作，所辅导的学生有6人次获IMO金、银、铜牌。]

作者单位:华南师范大学 数学科学学院.

http://www.changhai.org/community/article_load.php?aid=1375456016

张益唐专访 [文章类型: 转载]

by 季理真 翁秉仁 (2013/7/13 台大天文数学大楼)

问：谢谢你接受我们的专访。我觉得你的名字张益唐取得很好，请先告诉我们你的父母为什么取这个名字，也请顺便谈一下童年的数学经验。

答：我的名字是祖父取的，他在我很小就过世了，他是中学教师，字写得非常好。我的「唐」，一方面是因为我妈妈姓唐，当然也代表有益于唐人，也就是中国人。「益」也可以代表一，表示长子。我和妹妹的名字差半个字，她中间的字是「盈」，就是希望她能够把张和唐这两个家族给盈满了。

我们家就两兄妹，在那个年代中国知识分子的家庭生两个是正常的，劳工阶层则会多一点。我爸爸是工程师，他对数学好像没特别擅长，而且因为我童年的经历，他也没有机会教我。

我小时候算是不顺利的，我很晚才知道，我父亲虽然是搞技术的，也参加过地下党，但在59年的政治运动时还是受整，就是所谓反右倾。可能因为这个因素，他没把我带在身过。当我父母在北京时，我父亲把我放在上海外婆家。

我的母系是上海人，上海浦东川沙县人，能追溯到的祖先都是上海人。他们是纯粹的工人，按照中国当时的政治标准是最好的成份。他们都是机械工厂的工人，技术很好，人也厚道，连我外婆也是退休工人。但是家里没人懂数学。

说实话，没人教过我数学，但就是一种天性爱好，喜欢数学。我的启蒙是上世纪六十年代，大陆出了一套给青少年的科普读物，叫《十万个为什么》，后来又出了几版。我记得开始有五册，后来又加了三册，其中第七册是生物，第八册是数学。我那时大概是十岁，至少能把问题看懂。《十万个为什么》里面有哥德巴赫猜想，有费马最后定理，就是没有孪生质数猜想（哈）。

另外，我当时住在上海一个大院里，我唯一受过的最高教育，是我在那里认识的一个高中生，他教我一点数学，多少有点影响。我其实没上过什么学校，连中学都没有读过。因为我爸妈后来都下放到五七干校，到农村去了，我15岁就跟着下乡，比那些中学毕业生上山下乡还早一点。我们去了湖北，在那边根本没得读书。

问：那后来还有什么其它接触数学的机缘吗？

答：1971年，我16岁，回了趟上海看我外婆，那时是文革后期，最疯狂的时间已经过去，稍微有点恢复，有些文革前的书也重出了，文革前中国的中学教育算是正规的。当时上海复旦大学夏道行写了一本书叫《π和e》，介绍这两个数，很薄的一本书，也许现在家里还留着。书中讲到π和e是无理数，我就想弄清楚为什么π和e是无理数。那时我已经会证e是无理数，但π是无理数不好证。至于为什么它们是超越数，就更想弄清楚。

后来，我到北京到工厂做工时，在旧书店又看到一本华罗庚写的《数论导引》，从里头再学一点，反正就是断断续续。我在考大学前没有什么基本训练，都是零散的天生兴趣。

问：你考大学时就决定要读数学吗？那时有做过什么准备？

答：是的。1977年底我没有考好，数学考得还可以，最糟糕的是政治，一点都不懂。那时要考所谓五文，数学、物理、化学、政治和语文，我语文也没考好，当时要求的都是八股式的党八股。数学也不算考得好，因为有些题意不大清楚，我会做但是不大会写。1977年底的这次考试分数是够了，但上不了好学校。

所以我过半年后再考，有了经验，这次知道要怎么准备，就考得很好录取了。数学考90几，政治考得最差，70几。我比较自豪的是语文这科，在文革前高考的语文一向都是命题作文，但1978年这次没有那种我不喜欢的八股作文，什么歌颂华国锋主席的，这次考语文要考综合能力，对诗词、成语、古文的了解，我考得相当高，100分满分得82分。

问：在进大学前，你怎么学习这些中国语文？

答：我没上过中学语文课，都是自己看书。数学跟文学有点相通，像文言文我是怎么读的，我并不是说自己的文言文水平有多高，而是一个东西你并没有完全看懂时，就能感觉他有意义、很美，这点数学和语文可能是相通的。

我上大学前，无意中从朋友那看到唐朝诗人白居易写给元稹的一封信〈与元九书〉，很多字我不认识，但就能感觉这文章怎么写得那么好。

问：你23岁进北大，是不是就计划以后要做数学研究？做哪个方向？

答：是，我希望能做数学，想做数论。也许我只是重复人们的感觉或天性，因为数这个东西，问题那么简单，一般的中学生都懂，但是解决的方法又那么难，也许是这点很吸引我，

我顺便说一下，我并不是受当时国家宣传陈景润的影响而想学数论。倒是1973年18岁时，我胆子很大，微积分只知道一点点就开始读陈的论文，大致过程还是读懂的，当时费了很大的劲。

问：从近几十年来看，不管人家说北大好坏，很多最好的学生还是北大出来的，你是北大文革后第一届的学生，能描述当时北大的情况吗？

答：我们这一届当时的价值观很清楚，就是把数学学好。即使没人管你，大家都很用功，无论是微积分，代数，就喜欢这种有挑战性的东西。北大强调基本功要扎实严谨，这学风是很好的，到现在还有影响。但北大也有一个缺点，因为文革或其它的原因，跟外面接触不多，跟不上国际数学的主流，在当时已经落伍。我六月份在纽约演讲也提到，北大教学过份严谨的要求，会不会显得太陈旧，会不会束缚想象力的发展。虽然我不确定别的学校是怎样，但我猜海峡两岸也许都有这个问题

北大学生比其它学校好，有一点是肯定的，就是入学成绩高一点，学生好一些。北大的要求也比较高。举例来说，我当研究生，有一个国内名牌大学的学生，他要计算几何级数导数之和，他算出来很得意。我有一个感觉，如果学生以为做出这个就很了不起的话，那眼光也太短了吧，当然这也许只是特殊的例子。

问：请谈谈北大的老师。

答：我进北大大一上基础课时，沈燮昌老师教数学分析，丁石荪教解析几何，他们教书教得真好，对我很有影响。学了微积分就能自己看数论，读陈景润的文章。后来我的研究生导师潘承彪，他教解析数论也讲得很好，其它一些老师也都不错。

我在美国新罕布什尔大学教书时，一直在回忆沈燮昌和丁石荪的上课，要怎么教书让学生有兴趣，能不能吸引学生。有人问过我怎么教书教好，因为我在美国的教学纪录非常好。事实上我只问怎么样不把书教坏，不要以为你懂的，学生一定懂。必须下功夫去想，如何将材料组织和呈现出来，才会对学生最有帮助。一个大一学生刚进来，老师怎么讲课，对学生的影响很大。我教书模仿沈的原则，不是定理、证明一直写下去。我先提问题，希望和学生一起来想，然后我才归纳一下。当时沈虽然不是完全这么做，但至少让学生思考，是启发性的教学。

遗憾的是，老师不仅要会教书，也要做研究，要做在最前面。我们那一代最缺的，就是特别好的老师，不是说他们人不好，教得不好，但是也许因为文革，研究没到最前沿。如果当时有一个这样的人，对学生关心又能带领我走的话，也许我的获益会更大。如果有好学生，我希望将来我能充当这样的老师。

问：接下来，请谈谈你在北大的研究生生活。

答：我的研究生导师是潘承彪，我跟他学解析数论的基础知识，以前在大学数论只是瞎看，跟着他学了正式的课程。基本功还是很重要的，解析数论中很重要的就是阶的估计，在他的教导下，我对这方面非常敏感。像这次孪生质数的问题，我就是能感觉出上界应该是多少，怎么去达到。如果你没有这种基本感觉，这种问题是做不下去的。这是我在研究生时打下的基础。

另外，当时中科院朱尧辰讲丢番图逼近论，裴定一讲模形式，对我都有影响。当时修模形式的没几个人，裴定一是从1971年志村五郎的Introduction to Arithmetic Theory of Automorphic Functions选几章来讲。现在回想起来，讲模形式跟个人的研究方向有关，我没学到几何上的东西，只是分析。模形式是一个很有意思的东西，特别是到了90年代因为Andrew Wiles证明费马最后定理，让模形式更有价值。

模形式是定义在上半平面的函数，而且在边界上在某些地方是解析的甚至等于0。这可以做为一个纯分析的课题，但是他的含意远远不只于此，要看老师怎么教。过去国内的老师只讲一半，证明证得非常细。我记得朱尧辰老师讲Roth定理的证明，到最后根本就记不住，一步一步你都过去了，弄完还不知道在干什么。过多的陷入技术性的细节，会削弱整体的东西。学数学和给人审稿不一样，不能只看每一步的对错。

问：这么说起来，你在出国之前的训练主要是比较分析的，是解析数论这部份，那关于代数数论与代数几何呢？

答：当时大陆主要缺的是几何的背景，代数数论还是有人做。中国教育太强调基本功训练，毕竟人的时间和精力是有限的，那会限制你的思维方式，如果细节一定要搞得很清楚，就可能造成广度不够，很难发现和其它东西的联系。解析数论到目前为止，就是自己的路，但代数数论到后来必须和几何有关，这方面当时走得不够。

问：你出国后选了代数几何，论文题目选了Jacobi猜想，你为什么选这么有名的问题。怎么没想到要选数论的老师，像Freydoon Shahidi？

答：这也是碰上了，因为我的导师莫宗坚就做方面，本来有可能做完，好像他也写过一些东西描述这段经过。这方面我不太想说，过去了就算了。我出国没有找别的老师，是因为莫宗坚和丁石荪是好朋友，我出国时已经答应做莫的学生。

我从莫学到一些代数几何，莫的方法是比较具体，要去算、去估计，我比较习惯这种不抽象的做法，让我知道即使是代数几何，有很多东西到最后也要具体去算，这是给我印象很深的。

我这人并不擅长理论性推导的东西，像数论中的Tate Thesis我就没办法完全弄懂，他弄出zeta积分，又有解析延拓，又有函数方程，然后有L函数，确实很漂亮，但我就是还想知道，到底这个积分等于几，到底有没有渐近的表达式。

问：你91年底从普渡毕业，99年到新罕布什尔大学，有八年的时间不在学术岗位。你能够长时间的坚持，考虑很难的问题，非常不简单，可以大致描述一下吗？

答：也没什么，那时就不用教书，网络一般说我在打工，其实也不算，主要是在朋友店里，他开了好几家店，虽然我没有正式的会计师执照，但是帮忙管帐做会计。

虽然是不相干的工作，忙有时也忙，但总是有时间。如果你心思很单纯，真的喜欢数学，就不会把数学忘掉，还是可以继续。我自己留了一些数据。那段时间读了很多东西，不断的想一些问题，包括Enrico Bombieri、J. B. Friedlander、Henryk Iwaniec的工作都是在那时候才读的，另外也包括像代数几何的东西。

问：前几天我去北京遇到葛立明，他说当时你在做个大问题，快做出来了。所以找你去新罕布什尔大学。

答： 那是关于Siegel零点的工作，我有一篇网络文章，是不完整的。目前我还不敢说我完全做成，但是的确有很大进展。孪生质数这个问题我做了三、四年。但希望大家不要误会，这个问题我是想了三、四年，但不是说我所有时间都在做它。一直到去年9月，我因为肯定可以做出来了，才暂时放下别的东西。

在新罕布什尔大学，我在教书上积累了很多经验，很遗憾在那里找不到好的学生。我教过很多课，主要是微积分，再高一点像抽象代数，复变，我也给学生开过数论的研读课程。我很喜欢教书。

问：网络上都讲你在去年7月3日找到解题的灵感，而且证明中，还用到 Weil猜想，请跟我们说明一下。

答：这其实是很有意思的故事，去年夏天我因为问题想不出来，就准备到科罗拉多朋友家去好好度假，什么书、论文、计算机都没带。我朋友是指挥家，我喜欢古典音乐，所以在那边听了很多音乐。但是后来心思不知不觉又回到数学上，7月3日我突然得到一个灵感，可以把问题归纳到几种情况，其中两个情况用Kloosterman和都可以解决。最后第三种情况，本来以为是最简单的，其中牵涉到一个数表示成三个数的乘积有多少种表示法。我以前有个错觉，觉得这个是最简单的，到最后才知道是最难。于是就去查了1985年Friedlander和Iwaniec的论文。从他们其它文章，我知道他们做过这方面的工作，但细节不清楚。我查到要用到威伊猜想的其中一部分推论，也就是Birch-Bombieri结果，这是做为他们文章的附录而发表的。

但是即使直接用他们的结果，还是差一点，后来用了一些我常用到的方法，结果就成功了。从这里可以讲，假如做学问牵涉到某些主题，一定都要先读透读懂了，可能要花很长时间。有时开始不能确切知道什么是需要的，等到需要的时候再去补，那时效率会很高，因为你知道关键要什么东西，他能提供什么。所以那时我连论文的细节都没看，就那套方法给我印象特别深，我用上了，结合Birch-Bombieri结果再加上模的分解，这个成果我很满意，是最满意的一步。因为我补得很快。

问：说到这，我就想到中国的学生常常希望把所有准备知识都学好才开始做研究。

答：我这个论文也有这个问题，很多人说要把我这论文先读懂。那里面是有些想法，可以再往前走，也许能解决别的问题，但能走多远我不敢说，我并不主张费很大力气来完全读懂。我觉得以我的方法，质数距离尽管可能降低很多，但应该没办法真的做到孪生质数猜想。

问： 葛还告诉我一个事情，我很感动，他说以前你常替系里换水，现在成名了，系里的秘书问葛，你还会替系里换水?他说你还是会继续换。

答：我前两天离开前，还换了水，这没什么，只要我还在那就还会换。那种饮水器用个倒过来的大水桶，但是别人都换不好，只有我换得好，所以秘书老太太还挺喜欢我，这没什么，不会因为我出名了，就不做这种事。

问：你出了这个名后，对你有没有什么影响，外在或内在的？

问：我是出了这个名之后，才知道别人说我这个人很孤傲什么的，这些是别人对我的感觉，我自己都不知道，我倒觉得自己还挺随和的。也没有因为出了名，就傲气十足的吧。

问：我比较讶异的是你在普渡还当过中国同学会的会长，这应该证明你不是孤傲的人。

答：那是六四天安门事件的时候，但我这个会长也是被别人硬推上去的，实际上我是最不擅做这些什么「长」的。

我出了名后，网站上的东西我都不怎么看，我不敢看，当然我也没时间看。我只抱怨了一件事，就是我的自由时间变少了，这弄得我非常头疼，我希望我还能继续做数学，我知道名也许或带来一些利益，这些过去我不看重，将来也不会。.

（续......）

问：有人这么评价，中国数学最好的时间可能是50年代，当时华罗庚回来领导解析数论，很有希望。解析数论是中国的强项，你对现在中国解析数论的现况和前景有什么看法。

答：50年代那时的价值标准就是做最好的数学，华老是解析数论的领袖人物。华的脾气是很大的，他都叫学生上台讲，据说有次王元忘了不会讲，他就说不行，今天不讲不许下课。中国数学50年代，从华罗庚到陈景润，那时人心思单纯，做数学是好的，喜欢做也愿意投入。那时大陆像前苏联，发不了财，工资都一样，没有杂念。于是就努力去做，做到最后，华老从50年代开始，建立中国人的学派，最后陈景润达到顶峰。

我认为解析数论如果确实有一批人想去做，仍然是有希望的。当然这需要一定的条件，因为科学的发展有他的阶段性。比如华他那套东西，筛法也好，圆法也好，不能永保青春。后来，一方面是做到头了，一方面因为文革，中国没有机会吸收新东西，所以就慢慢停滞了。

但现在这些条件都具备，你可以积极吸收新的东西，像是Friedlander和Iwaniec的东西，或者新一点像Green和陶哲轩的东西。我和葛也谈过，我的直觉是将这些跟古典解析数论技巧结合起来，应该是有前途的，现在各方面条件都有了，只是怎么把新的方法融入传统解析数论去，我希望中国年轻一代自己敢于给自己提新的问题。

我自己在潘承彪老师指导下写的第一篇论文，现在想起来我连看都不想看了，那时我就有感觉，怎么路越走越狭窄了，你不能就是这一套。这时你需要有点勇气，看胆子大不大，敢不敢否定自己走过的路，要自问我们这领域里头能不能和新的东西结合起来，要不断的问自己，天天问自己。

当然如果有机会出国，也许会容易一些。我2001年发表了一篇黎曼函数导数的文章在Duke Journal，那结果评价还挺高的。结果我收过一些杂志邀我审稿，但是我这人可能太挑剔了，就说这结果不要在伦敦数学学会杂志发表，建议在小一点的杂志发表。那些结果是对的，但是没有太大意义。我想不论中西，做学问都需要保持一个活水，不是一个死水潭。

问：想请教你对《数论导引》这本书的评价，另外也请谈谈其它比较好的数论书。

答：《数论导引》做为一本入门书，现在来看内容是陈旧了点，但仍然是一本非常好的书，不仅是数学好，华的文学功底也是好的，让一个对数论有兴趣的年轻学子来说，一看就懂，很容易入门，他的风格明快又丰富，一本书很难写成这样。

我想《数论导引》有受到G. H.Hardy和Edward M.Wright的An Introduction to the Theory of Numbers的一些影响，但华写的更多一点。有几位英国人的书也写得非常好。像E.C. Titchmarsh的The Theory of the Riemann Zeta-Function。他从1950年出第一版后，还没有书可以超过。又丰富又明快。

问：你会不会也想写本书？

问：你的学生给你很高的教学评价，一定也从你这里学到东西，你如果写一本书，应该也会是好书。

答：我暂时还没什么想法，写书恐怕很难，要考虑能不能写得有启发性，不能只是定义、定理、证明，要写出中间的想法。

我是希望能用中文写本解析数论的书。潘承洞和潘承彪兄弟他们有一本《解析数论基础》，那本书其实写得很好，但是他们只写到90年代，后面例如 Kloosterman和，或者代数几何的材料那些没写进去，这是个缺点。Iwaniec和一个波兰人Emmanuel Kowalski也写过一本Analytic Number Theory（2004，AMS），这本书其实写得很好、很丰富，但对初学者来讲太难，因为密度太大了。

我倒是希望我能写，也许把自己的心得讲出来，但我还没正式去考虑这问题。

问：你有没有什么数学英雄，像是比较敬佩和喜欢的数学家？

答：这有点说不出来。小时候当然高斯是我心目中的英雄，但是长大之后好像就没有了。像是有些人他们数学做得很好，但是我总觉得自己不会做得比他们差。所以现在在我心目中没有什么英雄。但是在人格上佩服的倒是有两个，一个是Wiles，另一个Grigori Perelman。

问：你前面提到华的文字好，我们也知道你对中国和俄国文学的爱好。请谈谈你觉得数学和人文之间有什么关系。

答：别人问我纯数有什么用，我只能说没用，前一阵子google请我去演讲，我不敢去，万一他们关心的是实用价值，让我要怎么说，我又不能闭着眼睛说瞎话，说这东西非常有用。但对他们说没有用，又让人失望，所以我就不去了。

但是做为一门知识，做为一个具体做学问的人来讲，数学和文学甚至和音乐欣赏是有很多共通之处，都是一种美的追求。往往我们在一种朦胧，不是很清楚规范的时候，反而感到一种美。前几天一个英国电台采访我，我说我喜欢莎士比亚，过去我读过中译本，觉得真好，到美国后装模作样想看英文原本，结果看不懂，因为按照我在中国学的英文语法是不通的。或者像中国的文言文，现在两岸都有很大的争论要不要学。但是往往这东西在不规范的时候，没完全读懂时，反而能感觉有种美感，数学、音乐也是这样。

问：数学也是这样？

答：譬如我去年7月3日的灵感，它是非常模糊的东西，事实上最后一步，我认为最简单，反而是难的地方。但是那时，我不断用英文问自己:why not，觉得是可以的。

问：人文的修养对做数学是重要的吗

答：我认为是重要的，就一个人的人格来讲应该是全面的。你有其它方面的修养，应该也会显示在数学上，当然也许我这回答本身也很朦胧。我觉得做数学有种忌讳，你如果要把所有东西都弄得具体，每一步都弄清楚，整个东西你就不知道怎么弄了。但有时你也不知道这些步骤到底对不对，但对他整体有种感觉，这种感觉有时很重要，要做出成果可能还真需要这种感觉，

问：对年轻学生想要做数学，不知道你有什么好的建议。

如果说要有什么建议的话，我希望国内有一定名望的老师，能用最大的热诚来关怀学生。而学生也要多跟老师谈一谈，在选导师方面多想想再决定，希望做的东西是自己愿意去做，至少有若干年愿意去付出牺牲的。但我总不能要求学生像我这样除了数学什么都不要，

问：我今天问Serre一样的问题。他说他普通不回答这类问题，但如果硬要回答，他会选Langland Program，因为总是可以做些什么，即使结果小也有意义。但他不鼓励大家做黎曼假说，因为没有就什么都没了。

答：这我倒是可以附和Serre的讲法。但还是希望有人即使在做别的东西时，还是要保持某些你有兴趣的困难问题，例如黎曼假说，至少不要把这东西忘了，说做不出来就不要了。你要想各种各样的方法去尝试。因为黎曼假说说起来还真惭愧，连弱型黎曼假说，也就是把实部等于1的直线往左移一点点，都不知道怎么做。像这种东西你可以尽想象力去试，不要以为前人所做的已经穷尽了。尤其在数论，往往有一个新的想法就有令人惊讶的结果，把以前的东西全部都超越过去。

学数学最重要的第一当然是兴趣，再来就是要开拓自己的视野，不断问自己能不能找到新东西，把传统的和新的东西结合起来，不断的自省。当然在解析数论里，说开拓其实选择也不多，毕竟解析数论太难，就像我刚列出来的Friedlander和Iwaniec，可以问问是不是还能做得更好。又如果说新一点的，容我胡说，我说要是把解析数论与Green和陶哲轩的结果结合起来，我认为是有可能的，这是新的东西。

最后，我也跟一些科普杂志谈过，就是掌握四个字：「勤能补拙」。我根本不觉得我这个人有多聪明，但我有足够的勤奋，这是我能说的忠告。.

http://www.mysanco.com/wenda/ind ... amp;questionid=6078

这两天，舆论不断张扬这件事：

@头条新闻V 【教育部官员展示中国高考数学题 外国学者惊呼】“英国大学一年级的数学考题是勾股定理，中国高考的几何题需要做出这么多辅助线。”当教育部官员当众展示考题时，白发的外国学者都发出一片惊呼，中国学者默然。

中国新闻网文章开头是：中新网北京10月22日电(记者 马海燕)“英国大学一年级的数学考题是勾股定理，中国高考的几何题需要做出这么多辅助线。”当教育部发展研究中心主任张力今日把两道考题展示给参加第六届北京可持续发展教育国际论坛的的中外来宾时，白头发的外国学者都发出一片惊呼，中国学者却默然。大屏幕的上方，是英国大学新生的数学题，直角三角形的直角两边分别是3厘米和4厘米，问斜边长多少；而中国的高考数学题，则让很多人一时间都没看明白求解什么，一个复杂的几何图形，中间划着至少四条辅助线，而经历过立体几何和解析几何折磨的中国学生也需要好一会儿才能划出中间几道辅助线。

这篇报道一出，传播者之众出乎意料。传发这个消息的包括：中国新闻网、人民网、新浪网、光明网、凤凰网、各种报纸。接下来，一种声音出来了：高考是不是要废掉数学？

新浪微博的北京四中数学社有这么个来信：

@数学文化 是吗？社会对我们还是这样认识 【视频：数学滚粗高考？一起吐槽被虐过的那些年】 （分享自 @优酷网）


看了这个的短片，以及网上宣传的我们的数学多难、英国数学极差的张扬，不得不写几句。防止像四中数学社这么优秀的数学小团体也被低级舆论忽悠了。

英国数学就是那么不堪吗？

中国新闻网文章中说：“张力说，中国的高考数学题拿给英国学生有一半都不及格，而英国的考题我们初中一年级的学生就会，但是否就意味着我们的教育更具优势呢？”骄傲之情溢于言表。

那么我们的中学生数学水平就这么厉害，而英国中学生就这么不堪？看看新浪上一位作家的微博：

@白小起V

看到“数学滚出高考”的话题，里面有一个新闻说什么英国大学才学到勾股定理，然后反思了一顿中国教育，最他娘扯淡的是——居。然。有。人。信。恩好吧那我认识的那个中学就学微积分的英国一定是火星的。牛津剑桥帝国理工伦敦政经牢牢盘踞在世界名校的位置上一定是因为他们收的都是弱智。

下面是我的回应： @数学文化V

看看人家作家说的话，很好！！为什么会扯淡的居然有人信？还是没学好逻辑思考，有人一忽悠，立刻扯着嗓子跟着瞎起哄。(也难怪最老的数学系才一百年的民族，笑话人家300年前发明微积分、10多年前证明费马大定理的国度，也是一种精神胜利法） ***

更多的一些回应见我下面的微博：


给你们看看剑桥大学入学预考的数学（想得到剑桥的预录取 conditional offer 可考此试）：链接内容 一位老师写了160多页的辅导文章（免费放在网上；精神可嘉）；虽然是英文的，但是题目可以看懂。有多少我们的中学生觉得可以轻易拿高分？ ***

英国中学生考题，理工医类科数学的考题（IB）：第一部分: 链接内容 第二部分： 链接内容第三部分：链接内容上英国好的大学理工科特别是医科其中的数学考不了高分就基本上没有希望。很多学校像帝国理工、伦敦经济学院、UCL，当然还有牛津、剑桥的理工医科，这种不是7分，即A， 就没希望。***

剑桥大学入学数学预选考试；前年2100个学生考过这个。给你们看看题目、解题思路、答案： 链接内容 我估计咱们那些准备考研的同学一半考不及格。


BBC、媒体的高端数学科普

英国人不但有牛顿、哈代、麦克斯维尔这样的划时代的数学家，近些年的贡献也是不得了，像阿蒂亚(Michael Atiyah爵士， 1929--）、西蒙·唐纳森（Simon Donaldson 爵士，1957--）、蒂莫西·高尔斯（Timothy Gowers爵士，1963--）这些菲尔兹奖获得者，还有解决世纪难题费马猜想的怀尔斯（Andrew Wiles爵士， 1953--）都是世界数学明星。

彻底解决费马大猜想的怀尔斯爵士

BBC、媒体的高端数学科普

除了有悠久的数学传统和对数学的杰出贡献，英国人的数学科普也是做得很到位。典型的一个例子是剑桥大学千禧年数学科普计划衍生的一个高水平的数学科普平台Plus，它包含了数学科普文章、新闻、评论、电子书库、趣题等内容（链接内容），每周定期更新，极大地提高了英国中学生、大学生的数学兴趣以及大众对数学的理解。这个网页上说Plus 现在是一个基于剑桥并辐射英国及国际的长期的国家计划（a long term national initiative based in Cambridge and active across the UK and internationally）.还没有看到我国有这样高水平的、有品味的高端数学科普网站。

有三个数学科普人特别值得一提。

人物1： 刘易斯·卡罗尔

第一个是刘易斯·卡罗尔，牛津大学讲师、数学家，用数学人的逻辑、智慧给后人留下了不朽的《爱丽丝漫游奇境记》。由此书改编的电影进入今年欧美科幻电影前十。

人物2： 马库斯•杜索托伊

第二个是牛津大学的科学大使马库斯•杜索托伊（Marcus du Sautoy），数论专家、BBC主持人、《泰晤士报》“性感数学”专栏的作者、牛津大学数学教授、≪素数的音乐≫（The Music of the Primes) 的作者！一位推广数学普及的大侠。看看他这个演讲：


马库斯•杜索托伊制作的BBC数学故事（全4集）】讲述数学之谜——①数学-宇宙的语言-讲述古埃及、古希腊和古巴比伦在数学上的成就


②中国东方的天才-介绍中国和印度的成就

③空间的边缘-中世纪之后欧洲的成就

④无穷大及其超越-近代的成就

这些都是数学科普加上传媒技术的精品！
马库斯•杜索托伊的科普书

2006年12月，杜索托伊以The Number My5teries（"神奇的数学"）为题，主持了2006年的皇家研究院圣诞演讲，这个演讲活动从1825年开始，每年的圣诞节都在伦敦的皇家研究院举行。这个活动最初是由迈克尔·法拉第发起的，意在向普罗大众宣传科学，在轻松的风格下传递高质量的内容。该活动现在已经变成全民的节日，BBC从1966年开始对其进行全程转播，并录制成纪录片。杜索托伊这次的演讲是该活动创办以来，第三次以数学为主题的演讲。关于数学的第一次演讲是由英国数学会会长Zeeman院士在1978年主持的。当时的杜索托伊教授还是一个坐在底下听课的孩子，他当时立志有一天一定要站在这个讲台上。结果他做到了！

人物3： 伊恩·斯图尔特（Ian Stewart）

英国华威大学的Ian Stewart是著名的数学家和科普作家，英国皇家学会会员。在媒体上经常写文章宣传数学； 有很好的读者群和知名度。主要靠数学科普成为皇家协会会员，也是英国重视数学教育的一个体现。他的《数学万花筒》系列有中文版，在中国也很受读者欢迎。

Ian Stewart有个作家梦：一年出一本，本本都畅销。怎么才能做到这个成绩呢？其实答案很简单，他的书都跟数学有关。书本内容有趣，文笔又好，畅销也是必然！不只在英国畅销，在全世界也有很大的知名度。







英国BBC有几套高质量的数学片子（有点类似赵播音成名片“动物世界”般吸引人）；主要媒体《泰晤士报》、《卫报》都有原创的、高水平的科学（包括数学）专栏。这是值得我们媒体学习的！

再回到高考数学

近日，新浪微博关于「数学该滚出高考吗」的調查显示，在近10万名网友中有7万多支持数学「滚出」高考，並纷纷吐槽被数学虐過的那些年，称自己仅是「做題机器」，並认为数学难度太大，实际生活中真正广泛使用的只有加減乘除。然而反对数学「滾出」高考的，認為「学习数学能培養逻辑思維能力」的网友仅仅兩万多人。

让数学滚出高考。那么高考还考什么呢？建议大家读读林毅夫的访谈：《只考儒学不考数学 都是科举害了中国》

我觉得我们高考的题目有些落后： 中学数学过分强调知识点、用处不大的雕虫小技，和国际潮流脱节。经常看到中学老师给我们期刊的投稿，八股文、小题大做，还有没完没了的讨论教学发的文章，看出来知识的老化和不开窍。



在有限的两三个小时内，不要考学生过分拐弯抹角的题目；要那些常用的、有用的技巧。建议要分

文科卷子1: 超简单的， 比如整数运算、分数运算、小数运算、百分比，简单不等式，加点逻辑推理，参考国外最简单的那些类型；因为这些文科型学生要靠其他专业课打拼；

文科卷子2：除了上面之外，加点线性函数、直线、一元二次方程求根、对数、指数之类的，点到为止；简单为主。这些人以后的专业可能用点数学；

商科卷子1：参照应该伦敦经济学院、美国前十名商学院的数学；

商科数学2：文科数学最难的加商科卷子1里面最简单的；大部分学管理的、房地产的、会计的，懂个皮毛就够了；

工科数学1：参照牛津剑桥、美国常青藤工学院的数学要求；

工科数学2：上面提到的英国标准水平：链接内容 包括理科的化学系、生物系也是这个标准

理科数学、物理、力学、计算机：玩点真的数学，有剑桥数学入学试 链接内容 一半的水平吧。重点大学（比如985学校，或者自我感觉特好的学校）数学系可以出更难一点的数学考卷；参考剑桥题目的70%难度。 数学顶级学校（如北大、复旦、科大）可以自出一份和剑桥媲美的卷子，让实力派显示一下 。


最后摘几个新浪网友评论：

我是没事闲的：回复@数学文化:完全同意您，理工这类的技术活数学是必备工具。可实际情况是很多技术人员到工作应用的时候才知道数学如此之美，回头再自己看书恶补，这也反衬出当时的数学教育的效率问题。学生被公式和符号唬住了，忽略了背后思想演进的认识。所以您这个＂数学文化＂正当其时啊

我是没事闲的：数学教育不是没有反省的余地。实际情况是大部分人的人生的绝大部分时间里连用个勾股定理的机会都没有。不像语言，我们天天要用。我觉得重点应该放在数学史和数学思想的演进和数学中概念的介绍，而不是数学定理的灌输上。就是说可以不会证，但要知道定理如何产生，它为什么重要。细节留给少数人研究。

末末福利社社长：无论怎么黑，都无法动摇数学的基础地位。但是，也并不是所有的人都需要数学。如果选择不自由，则赞美无意义。

不择小树：黑的没水平，一笑了之。不过高考确实问题大。无论是从数学文化、和大学的衔接、还是统计、金融计算这些必备技能，都有很多值得改善的地方。

王鶴俊：回复@牙_ChenmxS:生活中任何一科用得都不多，包括高中以上的语文。那些人如果抱持着生活中用的不多的知识就没用、不该学，那他们应该进5、60年代那种扫盲班，会数数加认字即可。.

一直以来媒体总是宣传中国的基础教育数学教得多么难，而国外的数学学得多么简单，这其实是不了解国内外考试制度的差别。

国内的高考，对那些不需要用到数学的专业而言，确实要求学太多，也考太多了。但是对于数学专业以及很需要数学的专业，所学又太少，考得也太简单。

归根到底，不管是数学还是语文还是其它学科，都应该设置若干个等级，供不同的学校和专业选择性地加以使用。中文专业可以只要求最简单的数学，但是要求很强的文言阅读甚至写作能力；经济、商科、管理可以要求流利的英语；数学、物理则要求很深入的数学。但是不同的学校又可以有不同的要求。学术性大学要求高，其它大学可以低一些。.

牛津、剑桥的数学要求
http://www.maths.cam.ac.uk/undergrad/admissions/step/advpcm.pdf.

今天看到新闻说一个17岁高中生做的软件被雅虎以三千万美元收购。看了看这个孩子的确实蛮厉害的，不光是编程，而且数学学得很好，综合用到了很多统计、概率以及语言学的东西，来对一篇文章进行自动摘要汇总。

其实小孩子学习能力很强。中国的基础教育体系总喜欢强调“基础”，貌似低年级的数学没有学完就不能学高年级的内容。这是错误的。高年级内容貌似在逻辑上依赖于低年级的内容，其实这种依赖是一种人为制造的假象，只是说在某条学习路径上如此而已。跳过低年级内容直接学习高年级内容是可行的。.