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标题: [数学] 2007-10-7 [打印本页]

作者: 老猫 时间: 2007-10-7 07:42 标题: 2007-10-7

已知实数x、y、z，满足x+y+z=a，求证：x^2+y^2+z^2>=(a^2)/3

x^2表示x的平方。.

作者: echooooo 时间: 2007-10-7 12:06

引用:

原帖由老猫于 2007-10-7 07:42 发表 $\"\"$
已知实数x、y、z，满足x+y+z=a，求证：x^2+y^2+z^2>=(a^2)/3

x^2表示x的平方。

（x+y+z）^2=a^2
x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=a^2
因为a^2+b^2>=2ab
所以x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx<=3(x^2+y^2+z^2）
得3(x^2+y^2+z^2）>=a^2
x^2+y^2+z^2>=(a^2)/3
得证

作者: duyan 时间: 2007-10-7 14:23

x^2+y^2+z^2－(a^2)/3＝[3x^2+3y^2+3z^2-(x+y+z)^2]/3
=(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx)/3=[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]/3>=0
所以：x^2+y^2+z^2>=(a^2)/3.

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