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标题: [数学] 关于2008的数论题、组合题-有奖征解 [打印本页]

作者: wood 时间: 2008-1-1 14:16 标题: 关于2008的数论题、组合题-有奖征解

也是一道有关首位数字的题目：

[ 本帖最后由 wood 于 2008-1-17 22:12 编辑 ].

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http://ww123.net/attachment.php?aid=102557

作者: WaterIceFlower 时间: 2008-1-1 20:25

看到数论题就想起了茴字有几种写法。

是中学生，不是孔XX！.

作者: 老猫 时间: 2008-1-2 10:28

这是当年俺高中竞赛的题目。
每次出现9，就会少进一位。.

作者: 老猫 时间: 2008-1-2 10:29

当年考的时候没有告诉几位数，要用对数算一下。
我有个同学去厕所，用计算器按了一遍。
：）.

作者: wood 时间: 2008-1-2 16:40

作者: wood 时间: 2008-1-12 12:21 标题: 有奖征解

要求有过程，第一个答对的奖励梁绍鸿先生编写经典几何书籍《初等数学复习及研究-平面几何》的习题解答。.

图片附件: 2008.jpg (2008-1-12 12:21, 10 KB) / 该附件被下载次数 23
http://ww123.net/attachment.php?aid=105169

作者: 老猫 时间: 2008-1-12 17:10

动心啊。每次有人奖励书辑，都要赶紧下手。
先占住楼层，为了表示已经做出来了。
结果是604。

然后再慢慢写过程。.

作者: 老猫 时间: 2008-1-12 18:49

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http://ww123.net/attachment.php?aid=105241

作者: wood 时间: 2008-1-14 09:21

解法涉及对数计算过于繁琐，不适合作为考试的解题答案。而且题目是问多少个首位数字为9。：）

征解继续。.

作者: 老猫 时间: 2008-1-14 11:16

额，看错了。9应该比1少很多。9应该比1简单得多。赶紧试试。

[ 本帖最后由老猫于 2008-1-14 11:19 编辑 ].

作者: 老猫 时间: 2008-1-14 11:26

由于3^2=9相当的接近10，因此绝大部分的是乘以3^2以后就进一位。如果就是根号10的次方数，那么2008次方以后就是1005位。
现在只有959位，所以少了46位。
少的这46位是由于出现了部分乘以3^3才进一位的情况。考察首位是9的数，其除以3^2位数不变。考察首位不是9的情况，其除以3^2位数少1。
由此可知首位是9的数是46*2＝92个。

搞定，果然简单好多。.

作者: 老猫 时间: 2008-1-14 11:27

引用:

原帖由 wood 于 2008-1-14 09:21 发表 $\"\"$
解法涉及对数计算过于繁琐，不适合作为考试的解题答案。而且题目是问多少个首位数字为9。：）

征解继续。

对数化乘法为加法，个人认为是一种极好的运算。
记得谁说过，对数运算使得所有的天文学家的寿命增加了一倍。.

作者: wood 时间: 2008-1-14 18:06

解答还需要改进。
不然的话，同理可得：3、9、27中有2个首位数字为1。.

作者: wood 时间: 2008-1-17 22:17

6楼的题征解继续。
再来征解一个与2008相关的组合题：从1，2，3，。。。，2008中最多能选出多少个数，使得其中任意两个数的差不等于8，也不等于3。要求有完整解答过程。

作者: ITmeansit 时间: 2008-1-18 01:35

每8个数字一个周期考虑，第一个全选奇数，第二个周期全选偶数，得1,3,5,7,10,12,14,16。因任意两个数之差不等于3，去掉10,14,16即满足条件，也要考虑到后面的17,19。
因此16个数为一个周期，可以选5个
2008/16=125....8
最多可以选：125*5+4=629（多余8个数字可以选4个）.

作者: ITmeansit 时间: 2008-1-18 02:48

引用:

原帖由 wood 于 2008-1-12 12:21 发表 $\"\"$
要求有过程，第一个答对的奖励梁绍鸿先生编写经典几何书籍《初等数学复习及研究-平面几何》的习题解答。

我们把这2008个数补一个3^0＝1，一共2009个数进行分组，位数相同的数分在一起，根据3^2008是个959位数，当首位数是9的时候，该位数的数字有3个，如1,3,9，而27.81是不会出现9的。我们知道共分为959组，每组要么3个数，要么2个数。设3个数的x组，2个数的y组。
则有x+y=959，3x+2y=2009（补上3^0＝1了），解得x=91，也就是说恰好有91组有3个数，该组的第三个首位是9。

终于解出来了。奖励有吗？.

作者: ITmeansit 时间: 2008-1-18 03:55

引用:

原帖由 wood 于 2008-1-1 14:16 发表 $\"\"$
也是一道有关首位数字的题目：

本题的解答也很简单了。某个数如乘以9没有进位，这个位的数有2个，肯定出现一次首位数是9了。
即：2009-1917=92个。.

作者: 老猫 时间: 2008-1-18 09:02

引用:

原帖由 wood 于 2008-1-17 22:17 发表 $\"\"$
6楼的题征解继续。
再来征解一个与2008相关的组合题：从1，2，3，。。。，2008中最多能选出多少个数，使得其中任意两个数的差不等于8，也不等于3。要求有完整解答过程。

构造数列：1、4、7、10、2、5、8、11、3、6、9。
容易知道每11个数中最多可以取出5个数，满足任意两个数相差不是8或者3。
取出：4、5、6、10、11。
构造11k+4、11k+5、11k+6、11k+10、11k+11。
由于2008除以11余6，容易知道最后一个循环最多有三个数。
因此最多取到182×5＋3＝913个数。.

作者: 老猫 时间: 2008-1-18 09:06

引用:

原帖由 ITmeansit 于 2008-1-18 02:48 发表 $\"\"$

我们把这2008个数补一个3^0＝1，一共2009个数进行分组，位数相同的数分在一起，根据3^2008是个959位数，当首位数是9的时候，该位数的数字有3个，如1,3,9，而27.81是不会出现9的。我们知道共分为959组，每组要么3个数，要么2个数。设3个数的x组，2个数的y组。
则有x+y=959，3x+2y=2009（补上3^0＝1了），解得x=91，也就是说恰好有91组有3个数，该组的第三个首位是9。

哈哈，奖励是我的了。
由于题目中说明3^2008是个首位为1的959位数，所以设3个数的x组，2个数的y组。
则有x+y+1=959，3x+2y+1=2009（补上3^0＝1，+1是因为考虑到3^2008是个首位为1的959位数），解得x=92，也就是说恰好有92组有3个数，该组的第三个首位是9。

作者: 老猫 时间: 2008-1-18 09:07

引用:

原帖由 wood 于 2008-1-14 18:06 发表 $\"\"$
解答还需要改进。
不然的话，同理可得：3、9、27中有2个首位数字为1。

只是改进还是没有想出来。

作者: wood 时间: 2008-1-18 09:15 标题: 回复 17#ITmeansit 的帖子

数论题解答正确！请短信告知email地址或qq。

但是组合题解答不正确。

作者: wood 时间: 2008-1-18 09:21

老猫老师全部正确。另外加imo几何书一本。.

作者: ITmeansit 时间: 2008-1-18 10:48

引用:

原帖由老猫于 2008-1-18 09:06 发表 $\"\"$

哈哈，奖励是我的了。
由于题目中说明3^2008是个首位为1的959位数，所以设3个数的x组，2个数的y组。
则有x+y+1=959，3x+2y+1=2009（补上3^0＝1，+1是因为考虑到3^2008是个首位为1的959位数），解得x=92，也就是 ...

我觉得即使考虑了3^2008是个首位为1的959位数，也不能证明该959位数一定有3个数。因为这个首位数必须是小于1.11（无限循环）的数，才有可能得到959位数里有三个数，否则这个首位数乘以3^2=9时，肯定进位了。你的这个假设不能成立。

验证如下：3^2008=1.1468*10^958，1.1468>1.1111，

因此这个组里只有2个数。看来我的计算应该是正确的，还请wood验证一下。

呵呵，如果正确，奖励还应该是我的啊！.

作者: 布尔巴基 时间: 2008-1-18 11:09 标题: 回复 23#ITmeansit 的帖子

你错了,老猫是对的.
只要考虑3^2008以前的数,所以3^2008这组究竟有几个就没有关系了..

作者: ITmeansit 时间: 2008-1-18 11:21 标题: 回复 24#布尔巴基的帖子

刚才自己也想明白了。是要缩一位考虑的。因此老猫的正确。.

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