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标题: [数学] 2008-5-7 [打印本页]

作者: 老猫 时间: 2008-5-7 07:05 标题: 2008-5-7

已知x，y，z是正实数，且满足xyz=1，求(x+1)(y+1)(z+1)的最小值。.

作者: wealth37 时间: 2008-5-7 07:19 标题: 是不是8

.

作者: 成成の爸爸 时间: 2008-5-7 08:16

应该是８.

作者: echooooo 时间: 2008-5-7 09:27

引用:

原帖由老猫于 2008-5-7 07:05 发表 $\"\"$
已知x，y，z是正实数，且满足xyz=1，求(x+1)(y+1)(z+1)的最小值。

这题俺会做。

基本不等式a^2+b^2>=2ab
原式=(x+1)(y+1)(z+1)
>=2根x*2根y*2根z
=8根(xyz)
=8.

作者: echooooo 时间: 2008-5-7 09:31

不过好像有问题。

作者: 老猫 时间: 2008-5-7 10:03 标题: 回复 5#echooooo 的帖子

公道自在人心。
有没有问题，大家说了算。

作者: echooooo 时间: 2008-5-7 10:43

俺在瞎想八想

如果题目改一下
求(x+2)(y+2)(z+2)的最小值。（不知道有没有）
那么照例做出答案是16根2
疑问1
x、y、z取何值时得16根2？
疑问2
一般是取x=y=z=1时得极值，为27

所以ms有问题：
1、解题方法不对；
2、改的题目不存在；
总之，还未吃透。

作者: 老猫 时间: 2008-5-7 11:39

嗯
和我想的一样。
你的解法只对本题有用，对其他的都没有用。

我们想的其他例题也一摸一样。
(x+2)(y+2)(z+2)的最小值。
16根号2，是要求xyz＝1,且x＝2,y=2,z=2的时候成立，因此不可能做到的。

不等式有时候猜出解是很要紧的。
(x+2)(y+2)(z+2)的最小值的解会是什么呢？你猜了一个。猜得对不对呢？.

作者: 老猫 时间: 2008-5-7 11:40

顺便提一句，(x+2)(y+2)(z+2)的最小值是有解的。.

作者: echooooo 时间: 2008-5-7 12:23 标题: 回复 8#老猫的帖子

呵呵。
对称式的题目一般取值也是对称的。
凑了几个，没有比27小的。

作者: 老姜 时间: 2008-5-7 21:25

飘过。.

图片附件: 1.GIF (2008-5-7 21:25, 2.96 KB) / 该附件被下载次数 16
http://ww123.net/attachment.php?aid=141004

作者: 一叶轻舟 时间: 2008-5-7 22:34 标题: 回复 11#老姜的帖子

学习了!

由此联想, 这道题是否还可以继续推广
因为根据平均不等式公式,
可以证明n个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数,当且仅当这n个数相等时,等号成立
即(x1+x2+…+xn) / n >= (x1x2.…xn)的n次根号, 等号成立的条件是x1= x2= … = xn

于是,这道题可以推广成
已知x，y，z是正实数，且满足xyz=1，则(x+a)(y+a)(z+a)的最小值=(a+1)^3 (当且仅当x=y=z=1时)
或者, 已知x1，x2, …xn是正实数，且满足x1x2…xn=1，则(x1+a)(x2+a)…(xn+a)的最小值=(a+1)^n (当且仅当x1=x2=…=xn=1时)

班门弄斧,有不对之处,希望大家指正

[ 本帖最后由一叶轻舟于 2008-5-7 22:37 编辑 ].

作者: 布尔巴基 时间: 2008-5-8 16:34 标题: 回复 12#一叶轻舟的帖子

a是整数和a不是整数要不要讨论一下？.

作者: 布尔巴基 时间: 2008-5-8 16:34 标题: 回复 11#老姜的帖子

高手来了。.

作者: 一叶轻舟 时间: 2008-5-8 16:49 标题: 回复 13#布尔巴基的帖子

你指正得很对,
这里的a必须是正整数

[ 本帖最后由一叶轻舟于 2008-5-8 18:31 编辑 ].

作者: 老猫 时间: 2008-5-8 20:27

老姜来帮忙啊，如果a不是整数怎么办？.

作者: 老姜 时间: 2008-5-9 07:24

引用:

原帖由老猫于 2008-5-8 20:27 发表 $\"\"$
老姜来帮忙啊，如果a不是整数怎么办？

继续…….

图片附件: 1.GIF (2008-5-9 07:24, 6 KB) / 该附件被下载次数 16
http://ww123.net/attachment.php?aid=141410

作者: 一叶轻舟 时间: 2008-5-9 08:16 标题: 回复 17#老姜的帖子

再度学习了!.

作者: echooooo 时间: 2008-5-9 09:13

继续提问

若xyz=b，b是正实数.

作者: 一叶轻舟 时间: 2008-5-9 09:36 标题: 回复 19#echooooo 的帖子

这个有难度哦
此念头偶也曾一闪而过......
帮顶!.

作者: echooooo 时间: 2008-5-9 09:45

引用:

原帖由 echooooo 于 2008-5-9 09:13 发表 $\"\"$
继续提问
若xyz=b，b是正实数

是不是也可以用“通法”解呢？.

作者: 老姜 时间: 2008-5-9 12:10

引用:

原帖由 echooooo 于 2008-5-9 09:45 发表 $\"\"$

是不是也可以用“通法”解呢？

显而易见。

作者: 老猫 时间: 2008-5-9 14:28

这种小问题，还是我来解答吧。

如果xyz＝b^3。那么将式子的每个括号除以b就化成原来的问题了。.

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