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标题: [数学] 2008-8-15 [打印本页]

作者: 老猫 时间: 2008-8-15 08:08 标题: 2008-8-15

ABC的内切圆切BC边于D，求证：DABD和DACD的内切圆互相外切。.

作者: echooooo 时间: 2008-8-15 08:49

郁闷呀，题目都没看懂。

内切圆互相外切？.

作者: 一叶轻舟 时间: 2008-8-15 09:00

我先画幅图, 但我还没证出来
O为△ABC的内心, D是O在BC上的射影 (即OD⊥BC),
O1,O2分别是△ABD和△ACD的内心 (显然B,O1,O及C,O2,O共线)
现在的问题转化成求证:O1O2⊥AD

[ 本帖最后由一叶轻舟于 2008-8-15 09:10 编辑 ].

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作者: greenjyz 时间: 2008-8-15 10:59

是滴，想到这步就卡住了，郁闷！.

作者: ITmeansit 时间: 2008-8-15 11:19

呵呵，感觉这样是走进死胡同了！
另外一种思路：设BD=y,CD=z,AD=w，三角形三边BC=a,CA=b,AB=c
再设DE=a1,DF=a2，EF为AD上分别为△ABD和△ACD之内切圆的交点。
可以计算出：y＝(a+c-b)/2,z=(a+b-c)/2
a1=(y+w-c)/2=(2w+a-b-c)/4
a2=(z+w-b)/2=(2w+a-b-c)/4
则：a1=a2,即DE=DF，E.F是两点重合。得证。.

作者: 一叶轻舟 时间: 2008-8-15 11:29 标题: 回复 5#ITmeansit 的帖子

完全正确!
解法非常精妙, 豁然开朗.

作者: greenjyz 时间: 2008-8-15 11:47

厉害啊！景仰！.

作者: 老姜 时间: 2008-8-15 13:39

ITmeansit的证明方法属于同一法。在直接方法卡壳的情况下，这种方法显示出了威力。赞一个！

一叶轻舟的思路也是可行的，并未走进死胡同。利用计算可以知道：AO1^2+DO2^2=AO2^2+DO1^2，所以O1O2⊥AD，命题得证。

给出老猫问题的一个推广：若四边形ABDC存在内切圆，则三角形ABD、ACD的内切圆外切。当B、C、D三点共线时，E、D、F为同一点，四边形退化为三角形。

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作者: ITmeansit 时间: 2008-8-15 19:08

引用:

原帖由老姜于 2008-8-15 13:39 发表 $\"\"$
ITmeansit的证明方法属于同一法。在直接方法卡壳的情况下，这种方法显示出了威力。赞一个！

一叶轻舟的思路也是可行的，并未走进死胡同。利用计算可以知道：AO1^2+DO2^2=AO2^2+DO1^2，所以O1O2⊥AD，命题得证。
...

请教：AO1^2+DO2^2=AO2^2+DO1^2，这个计算我还没有看出来。.

作者: 老姜 时间: 2008-8-15 22:42

引用:

原帖由 ITmeansit 于 2008-8-15 19:08 发表 $\"\"$

请教：AO1^2+DO2^2=AO2^2+DO1^2，这个计算我还没有看出来。

首先说明一下，你的方法是老猫问题的最简单的方法，我这里给出的证法二，只是留给一叶轻舟的一条“逃生之路”。-_-

请教不敢当。以题会友，本来是一件雅事。

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[ 本帖最后由老姜于 2008-8-16 05:26 编辑 ].

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作者: 一叶轻舟 时间: 2008-8-15 23:08 标题: 回复 10#老姜的帖子

对的，在你的提示下, 我也刚刚满头大汗算出来, 感觉你在拼命挽救我

贪心一记, 如果单从角度方面去证, 还有希望吗? 我哪能绕来绕去绕不出来

[ 本帖最后由一叶轻舟于 2008-8-15 23:10 编辑 ].

作者: 老姜 时间: 2008-8-16 05:42

引用:

原帖由 一叶轻舟 于 2008-8-15 23:08 发表 $\"\"$
对的，在你的提示下, 我也刚刚满头大汗算出来, 感觉你在拼命挽救我

贪心一记, 如果单从角度方面去证, 还有希望吗? 我哪能绕来绕去绕不出来

未必不可以，但好像要兜比较大的圈子，有点得不偿失了。

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