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标题: [数学] 来个数论杂题，探讨一下 [打印本页]

作者: ITmeansit 时间: 2008-8-21 10:22 标题: 来个数论杂题，探讨一下

自然数n是小于1000的奇数，n^19的后三位数是p，我们把n<p的奇数个数记作m1，把n>p的奇数个数记作m2。请问是m1大还是m2大？为什么？.

作者: ITmeansit 时间: 2008-8-21 10:29

先花了近2小时，一点思路都没有。有了思路之后，还是比较搞的！呵呵。.

作者: GerryBB 时间: 2008-8-21 10:36

找个板凳坐好，看IT同学出题，听老姜、老猫老师上课。。。。。.

作者: 老猫 时间: 2008-8-21 11:07

才500个数而已。穷举一下了啦。

作者: 老猫 时间: 2008-8-21 11:08

姜老师。人家点名了。不要在家看乌龟叠罗汉了。来帮忙啊。

作者: ITmeansit 时间: 2008-8-21 11:10 标题: 回复 4#老猫的帖子

哈哈，穷举？如果是n的2007次方呢？如何计算穷举？.

作者: GerryBB 时间: 2008-8-21 11:12

引用:

原帖由 ITmeansit 于 2008-8-21 11:10 发表 $\"\"$
哈哈，穷举？如果是n的2007次方呢？如何计算穷举？

老猫要弄S侬，恶劣的。

作者: 罗小星 时间: 2008-8-21 12:52

引用:

原帖由老猫于 2008-8-21 11:07 发表 $\"\"$
才500个数而已。穷举一下了啦。

如果要穷举的话，要准备一个强大的计算器，再加上充足的时间。

作者: 老猫 时间: 2008-8-21 22:07

刚刚闲下来，穷举了一下。
1、125、249、251、375、499、501、625、749、751、875、999。这12个数的十九次方的后三位和原数一样。
剩下的大的和小的一样多。

观察一下这十二个数，发现原来十九次方也是非本质的。只要是奇数次方就可以了。2007次方也是一回事。.

作者: ITmeansit 时间: 2008-8-21 23:09

引用:

原帖由老猫于 2008-8-21 22:07 发表 $\"\"$
刚刚闲下来，穷举了一下。
1、125、249、251、375、499、501、625、749、751、875、999。这12个数的十九次方的后三位和原数一样。
剩下的大的和小的一样多。

观察一下这十二个数，发现原来十九次方也是非本质的 ...

关键是如何证明剩下的大的和小的一样多呢？.

作者: echooooo 时间: 2008-8-22 02:03

猫老师的穷举太实在了。

祭起俺的大法——先凑小的

1^3=1，9^3=729
1^3=1，99^3=970299
1^3=1，999^3=997002999
嘿嘿，还是蛮有规律的嘛——

估计要配对

将这500个奇数配对：
1、999
3、997
5、995
...
499、501
当取定一个奇数a时，必有且仅有另一奇数b=1000-a
a^19=a^19
b^19=(1000-a)^19=1000m-a^19，m为确定的正整数
a^19、b^19的后3位数字均不为000且之和为000，
记作a^19的后3位数字为p，则b^19的后3位数字为q=1000-p
当a>p时，则b<q；反之亦然
当a=p时，则b=q
所以m1=m2.

作者: echooooo 时间: 2008-8-22 02:12

1、
若n为偶数，
则存在太多的p=000，导致q=000
存在a>p时，b>q
结果m1<m2

2、
若是偶数次方，
则后3位数相等
无法比较m1、m2

[ 本帖最后由 echooooo 于 2008-8-22 02:16 编辑 ].

作者: ITmeansit 时间: 2008-8-22 07:18 标题: 回复 11#echooooo 的帖子

完全正确！.

作者: 一叶轻舟 时间: 2008-8-22 07:52 标题: 回复 11#echooooo 的帖子

非常巧妙!
PFPF

作者: 老猫 时间: 2008-8-22 07:58

穷举完，我已经想清楚怎么做了。
写完一点点，就去睡觉了。想今天起床来写的。
结果。。。。。。

作者: 罗小星 时间: 2008-8-22 09:21

引用:

原帖由老猫于 2008-8-22 07:58 发表 $\"\"$

穷举完，我已经想清楚怎么做了。
写完一点点，就去睡觉了。想今天起床来写的。
结果。。。。。。

应该开心才是，老师最高兴的时候，就是学生比你厉害。.

作者: ITmeansit 时间: 2008-8-22 09:25

呵呵，做题应该枚举，穷举在考试的时候时间不够的。从枚举中寻找规律有利于解题。.

作者: GerryBB 时间: 2008-8-22 09:40

继续有请老猫，这12个数如何得出，千万别说是穷举来的，我晕！！！.

作者: 老猫 时间: 2008-8-22 12:27

很不幸，就是穷举的。.

作者: xyq2100 时间: 2008-8-22 13:48

这12个数可以这样算出来，设a是一个奇数且a^19=a (mod1000)
a^19=a(mod 8) 等价于a^18=1(mod 8)这对每个奇数都成立
a^19=a(mod 125)
(1) a被5整除 =>a只能被125整除有4个 125 375 625 875
(2)a不被5整除那么 a^18=1 (mod125) 由于125的欧拉数=125*4/5=100，而18与100的最大公约数为2，
a^18=1 (mod125) 等价于a^2=1(mod 125) 因此a=±1(mod125) 有8个 1 249 251 499 501 749 751 999.

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