5楼WaterIceFlower
(......)
发表于 2007-3-31 21:33
显示全部帖子
题6解
原题:6.对自然数n及一切实数x，求证：[x]+[x+1/n]+[x+2/n]+[x+3/n]+……+[x+(n-1)/n]=[nx]
解:
设: x=a+b, 其中:a=[x], b={x}
设: b+m/n>=1, b+(m-1)/n<1, (m为0-n之间的一个自然数)
[x]+[x+1/n]+[x+2/n]+[x+3/n]+……+[x+(n-1)/n]
=[a]+[a+1/n]+...+[a+b+(m-1)/n]+[a+b+m/n]+...+]+……+[x+(n-1)/n]
=ma+(n-m)(a+1)
=ma+na-ma+n-m
=na+n-m
[nx]
=[na+nb]
=na+[nb]
∵b+m/n>=1
∴nb>=n-m
∵b+(m-1)/n<1
∴nb<n-m+1
∵n-m<=nb<n-m+1
∴[nb]=n-m
[nx]=na+n-m.
