第九届华杯决赛第二试问题5：求同时满足下列三个条件的自然数a、b：
(1)a＞b；(2)ab/(a+b)=169； (3)a+b是平方数。.

华罗庚先生一本《数论导引》影响了几代人，说他为我国数论研究的鼻祖一点不为过。以他的名字命名的华罗庚金杯赛的难题，基本上都出现在数论题上。.

精彩。.

现在不做老师这个职业了，尊师重教之心反而强烈了。《数论导引》还是值得我反复学习的。
禅宗也有大师焚烧典籍、毁坏佛像的公案。
猫老师让我想起了大师的风采，但是这样的境界对我来说有点可望不可及。.

“这道题目不难？这要看你从什么年龄去理解了。呵呵。”
说得好！.

猫老师的做法简洁明快，但是要求学生掌握因式分解的知识，这对于小学生是很难想到的，下面给一个对小学生更“自然”的做法，当然显得较为繁琐。
解：由已知ab=13×13(a+b)，所以a、b至少有一个是13的倍数，我们分两种情况来讨论：
①a、b都是13的倍数。
此时，我们可以假设a=13c，b=13d。a+b=13(c+d)是一个平方数，所以c+d也是13的倍数；同时，代入整理得到cd=13(c+d)，所以c、d中至少有一个是13的倍数，因此c、d都是13的倍数；所以我们可以假设c=13e，d=13f，带入得到ef=e+f，显然e、f都不能取1，由于a＞b，所以c＞d，故e＞f≥2，因此e+f=ef≥2e，f＞e矛盾，所以情况①不可能成立。
②a、b中只有一个是13的倍数，当然此时也就只有一个是169的倍数。
不妨假设a是169的倍数，a=169h，带入得到hb=169h+b，(h-1)b=169h。由于b与169互素，所以169是(h-1)的因子；又由于(h-1)与h互素，所以(h-1)是169的因子，也就是说(h-1)和169互为因子，因此必有(h-1)=169，代入解得b=h=170，a=169×170，容易验算这个解的确是我们的要求。
同理如果我们假设b是169的倍数，可以解得a=170，b=169×170，与a＞b不符。
综上所述，唯一的解是a=169×170，b=170。.