著名不等式、几何专家ji23昨天在他的网站上提到了这样一个几何题：设I是△ABC的内心，E、F分别是内切圆I在CA、AB上的切点，
CI、BI分别交EF于P、Q，BP与CQ相交于X，则XI⊥BC。

[ 本帖最后由 wood 于 2007-8-5 08:33 编辑 ].

这道几何题相当复杂，看上去难以入手，ji23提出了另外一个相关的问题：设I是△ABC的内心，E、F分别是内切圆I在CA、AB上的切点，BI交EF于Q，则BQ⊥CQ。
对于ji23老师提的这个问题可以先证明如下：连接AI、BI、CI，显然他们分别是EF、FD、DE的中垂线，因此∠QDI=∠QFI=∠IAF=1/2∠A，
这样∠BQD=180-∠BDQ-1/2∠B=90-∠QDI-1/2∠B=90-1/2∠A-1/2∠B=1/2∠C=∠ICD，因此C、D、I、Q四点共圆，
所以∠CQI=180-∠CDI=90，BQ⊥CQ。

[ 本帖最后由 wood 于 2007-8-5 08:33 编辑 ].

有了2楼ji23老师的结论，我们就可以来证明冯祖鸣提到的这道几何题了。
证明：由于我们已经证明了BQ⊥CX，同理CP⊥BX，所以CP与BQ的交点I就是△XBC的垂心，因此XI⊥BC。


[ 本帖最后由 wood 于 2007-8-5 08:34 编辑 ].

呵呵，标题和我的叙述容易引起误会，冯祖鸣和ji23没有直接关系。
冯祖鸣近年来一直担任美国数学奥林匹克代表队总教练，在第35届IMO上美国队全部6名选手都获得满分，创造了IMO的历史，由此也奠定了冯祖鸣在国际奥数届的地位。
ji23也是全国顶级的奥数教练之一，但是他更大的精力放在数学研究上，是国际知名不等式专家。.

使用垂心证明直线与直线垂直，还可以看下面这道题：已知三条线段AB，BC，CD都与圆O相切，且AB＝BC＝CD，联结AC，BD交于X点，T是BC上的切点。求证：XT⊥BC。

[ 本帖最后由 wood 于 2007-8-6 20:02 编辑 ].

证明：连接BO、CO它们分别是∠ABC和∠DCB的角平分线，所以BO⊥CX、CO⊥BX，因此o为三角形BCX的垂心，当然有XO⊥BC，又因为OT⊥BC，所以X、O、T共线，证毕。

[ 本帖最后由 wood 于 2007-8-7 07:09 编辑 ].