近期在整理一些数论的题目，数论题很有意思，不分大小、男女都能做，也都觉得难。
这是一道关于2007的题。

[ 本帖最后由 wood 于 2007-12-23 07:43 编辑 ].

大多数的数学题都是讨论末尾数字为多少，讨论最前面几个数字的题就算是“新题”了，难度的确是比确定尾数大一些。.

上面几位答案还不是很对。根据对数可以计算得到2^2007=1.4696×10^604为605位数。

[ 本帖最后由 wood 于 2007-12-11 14:20 编辑 ].

不需要使用过于“强大”复杂的手段。.

我非常反对使用“强大”的工具来解决问题，所谓杀鸡用牛刀，通常说明没有发现问题的本质，50、60年代科普书籍都是真正的大师写的，一本本都很薄，深入浅出。
现在的书印刷、出版起来更加方便，所以不少“中师”、“小师”也都有机会出书了，但是有相当一部分写的厚重、繁杂来显示“功力”。
此题我下周上完课以后会即使给出解答。

[ 本帖最后由 wood 于 2007-12-15 12:55 编辑 ].

我周末上课以后会解答。.

设这个集合为S，显然他们中最大的数是604位数。很容易证明下面这个性质
性质1：如果a是一个首位数字为1的k位数，则2a、4a都是k位数，16a为k+1位数。
而8a不能确定，既可能是k位数，也可能是k+1位数。根据这个简单的性质，我们可以知道对于每一个1≤K≤604，S中都有k位数。假设ak是其中最小的k位数，则ak的首位数字肯定是1，不然的话ak/2就是一个更小的k位数，矛盾。所以我们有
结论1：S恰好有604个首位数字为1的数。
如果一个偶数b的首位数字是2、3，则b/2首位数字肯定是1，同时任意首位数字是1的正整数b，2b首位数字肯定是2或3。所以有
结论2：S恰好有604个首位数字为2、3的数。
如果一个偶数b的首位数字是4、5、6、7，则b/2首位数字肯定是2、3，同时任意首位数字是2、3的正整数b，2b首位数字肯定是4、5、6、7。所以有
结论3：S恰好有604个首位数字为4、5、6、7的数。
这样，S中还剩下2007-604×3=195个数，首位数字只能是8、9。
而首位数字是8、9的偶数b，b/2首位数字肯定是4，同时任意首位数字是4的正整数b，2b首位数字肯定是8、9.因此我们得到了我们想得到的最终结果：S中首位数字是4的数共有195个。.

引用:

原帖由 cechooooo 于 2007-12-22 21:49 发表
很有道理，可惜还是晕。

初等不等于简单，解答用的知识的确很少。.

我们把S的2007个数进行分组，位数相同的数分在一起，根据24的讨论，我们知道共分为604组，每组要么3个数，要么4个数。设3个数的x组，4个数的y组。
则有x+y=604，3x+4y=2007，解得y=195，也就是说恰好有195组有4个数.
而每组第一个数数字为1，首位数字为4的数只可能出现在每组的第3个，并且如果它出现在第3个，它的两倍肯定还没有进位，所以这一组有4个数。另一方面，每组第3个数首位数字至少为4，如果第3个数首位数字不等于4的话，它的两倍就要进位了，所以这一组肯定只能有3个数。也就是说首位为4的数，和4个数一组的组是一一对应的。
因此S中恰好有195个数，首位数字为4。.