引用:

原帖由 hxy007 于 2008-9-22 20:29 发表
儿子一年级学完20以内加减法之后，老师出一了道数学题：

　　○＋△＋□=17 ……………①
　　○＋△=10  …………………②
　　△＋□=12 …………………③
　　○=（　　）　△=（　　）　□=（　　）

这是一个好帖，要顶起！

上面这道题我觉得还可以用小朋友更感兴趣的方式来教。我把题目改造一下：

妈妈买了一只苹果、一只梨、一个哈密瓜，总共花了17元。小明想知道每只水果的价钱但是妈妈不告诉他，只说苹果和梨加起来是10元，梨和哈密瓜加起来是12元。小明思考了好久，算出了答案。现在请小朋友们也算一算。

这里用水果代替抽象的符号，便于孩子们理解题目。为了同样的目的，用水果的个数取代重量。家长辅导孩子的时候可以使用实物，例如把三个水果一摆，价钱是17元。然后再拿掉哈密瓜，剩下苹果和梨，价钱是10元，这就可以引导小孩算出哈密瓜的价钱。

等小朋友们明白之后，可以再把题目抽象化，或者让小朋友们自己出一些类似的题目。.

我来串门的。这个圈子好多数学帖子不错的。.

你这是标准的算术解法，比前面那些更抽象一些，也就是说难度高一些，需要熟练掌握倍数，还要能发现年龄差不变的事实。

如果让孩子用画线段图的手段自己去发现这个解法，也是一个很好的启发手段，也很有趣的。.

引用:

原帖由 hxy007 于 2008-11-17 13:47 发表
小学那点数学，就数学本身而言，简单很，有中等偏下的智力完全可掌握。孩子做不出某道题或做错了，经常性的原因是不理解题意或曲解了题意。影响孩子对题意的理解，主要有两方面的原因：看不懂文字；缺乏生活常识。前者跟语文水平有关，因此，在我看来，小学生语文好（真正的好）比数学好更重要。后者跟生活经验有关，因此，让孩子广泛地接触自然和社会是非常必要的。

深有同感！.

能不能用文雅点的例子.

引用:

原帖由 有你乐无穷 于 2008-11-19 14:21 发表
这样子的例子特别受男孩子们欢迎，很能提神醒脑滴。

做家长的要引导小孩，而不是迎合他们呀！.

.

应该初中平几就有反证法了。.

一倍就是同岁，这是不可能的。

∞÷∞是没有定义的，或者说可以是任意数字。∞+24还是∞。.

你文科学太多了。.

我是在夸你。一般纯粹学数学或者工程的人是不会往那边去想的。.

由于淘汰式的选拔制度，国内的教学没法灵活。如果能够视孩子的实际水平实行错班上课也不错的。.

如果把数学比做一个精密、巧妙、庞杂的迷宫，那么数学的乐趣就在于不断发现迷宫中的通道，进而能在部分区域自由来往，甚至能够发现前人未能发现的通道，开辟新的天地。

题海战术、机械训练就是在早已经烂熟的通道上不断反复走动，希望走得更快一些。.

买个点钞机么.

大款啊，多得只能估算了。.

小学生、初中生身心发育更要紧，每天要保证足够的睡眠，学习太刻苦是不行的，也会早早失去后劲。

人的成长，要尊重客观规律，小学、初中要优先保证身心成长，高中刻苦一点，大学、研究生，进入专业研究了，那就要奋发图强了。当然不是所有人都要去做专业研究的，上面说的也只是一部分人可以选择的道路。.

小学刻苦的人，上了大学不一定还能刻苦；小学快乐的，日后未必就不能吃苦。
况且，小学那点数学，真的没有必要刻苦。
——只会强调刻苦的老师或者家长，往往是因为自己没有能力（或者认为自己没有能力）把数学（或者其它学科）讲得生动活泼，让学生兴味盎然。

更重要的，还要看为了什么而刻苦。为了考试的时候算得更快更准而刻苦反复做练习，还是为了一道思考题绞尽脑汁？这是完全不一样的。
楼主的意思，应该很明白。我支持楼主。.

我曾经在小学板块开过一个颇具争议性的帖子，反对全民奥数。后来还写过一个休闲数学的帖子，适合中学生玩玩，也有一阵没有更新了。

中国小学生的数学学得太多了，到了高中反而又止步不前，在初等数学的圈子里不停打转。

进度太赶不是好事。一个人的成就，不在于他起步比别人早或者开始的时候走得比别人快，而在于他的路能不能越走越宽。把数学的乐趣还给孩子吧！.

《古今数学思想》——共四册。
《高观点下的初等数学》——三卷本。.

呵呵，自发探索出来的和灌输进来的，就是不一样哦。

你儿子算210的方法很高明的，小小年纪就能独立发现未知与已知之间的关系，了不起！ 跟你平时的悉心培养也肯定有关系的。.

或者说，他已经能够：

1、把大的算式拆做两个小的算式；
2、把小的算式当作整体来处理；
3、发现这两个小算式之间的关系。

真的不简单！.

你儿子思维很灵活，有主见，不必强求他用哪个解法，就让他自己玩玩好了么，让他自己去思考哪种方法好，好在哪里，是速度快还是有通用性，在特殊的场合是不是有更好的办法或者变通，等等。

天才都是不用纸笔就能把问题装在脑子里慢慢玩的，比如那个陶喆轩。

我仍然喜欢用迷宫比喻数学。上不太好的奥数班好比老师把他知道的路线都给你标出来，但是孩子没有锻炼出在没有路的地方找路、找方向的能力。嘿嘿，我扯张大旗，李政道说过：“真正的学习是培养自己在没有路牌的地方也能走路的能力。”.

你的很多办法都很好，赞！学习了！！.

可以从第一册开始看。.

这不仅是一个技巧，更是一个很重要的数学思想。具体的讲，是一种抽象思维能力，就是说一个东西我不用管它里面是什么，我拿它和另外一个东西组合一下就可以得到我所要的东西，解决我的问题。等我有时间了再来慢慢玩味里面的弯弯绕。.

移动帖子要权限的。肯定是版主或者谁觉得这个帖子特别好才移出来的，不要移回去了。

你可以在“我的话题”里面找到自己发过的所有帖子。.

好文章，顺藤摸瓜又找到一篇：

美国老师怎样教数学
http://eblog.cersp.com/userlog/408/archives/2008/987682.shtml.

中国孩子在美国中小学“玩算术”是出了名的。

我儿子矿矿在同班的美国小朋友只会掰手指算简单加减法时，已会多位数乘除法。老师问：4＋3＝？大家还没反应，他答：4＋3＝21÷3。全班都傻了眼，就他得意洋洋。美国孩子和家长见到矿矿都竖拇指赞叹“聪明！”我们当然自以为是。在我眼里，美国小学数学太浅，整个一个“磨洋工”。一年级时，我借来六年级的数学课本，矿矿一样应付自如。

第一学期结束后，我们向学校提出，能否让矿矿插班到三年级上数学？我心里想，只要求上三年级，已经很谦虚了。谁知，在我们很“谦虚”地提出让矿矿每星期跳级到三年级去上一节数学课时，美国学校竟然不同意，并指出：矿矿擅长的是中国学校教的“算术”技巧，美国学校教的则是“数学”……

读了那封矿矿的老师代表校长和学区（相当于国内的教育局）写的信，我们非常不服气，不屑地扔到一边。直到后来对美国教育有更多了解时，我才重新冷静地阅读了这封信（节录）：

关于矿矿的数学学习问题，我已和校长罗伯特博士说过了。她也跟学区主管教学和课程的助理督导迈克·威廉斯博士谈了……

附上一年级数学课15个单元的学习内容和教学目标……我们更强调的是孩子对那些隐藏在数学后面的概念的理解，从而在口头上和书写中能够运用他们所学的东西进行交流，而不是对算术的死记硬背。我们的目标是培养孩子成为解决问题的能手，学会思考，让孩子把自信建立在自己的能力之上，从而去珍视数学。我们的课程是让孩子积极参与到学习中，通过循序渐进、适当的教学活动去学习具体的操作计算。矿矿在中国学校学到的一些算术技巧，例如乘法和除法，对美国一年级小学生来说，不是循序渐进的适当的活动。我们运用的是绝对具有乘除法功能的组合法教学，从而使孩子在记住计算的数字之前已能理解乘除法的实际意义。

矿矿当然是一个具有计算技巧的优秀学生。然而，算术仅仅是整个数学课程中的一个部分。我们在数学课里，会运用许多教学活动来挑战矿矿的思维，从而也对他本身形成一种挑战。

我们觉得，派一个迈阿密大学的在校生一对一地帮矿矿，将比到三年级上数学更适当。如果你们想借三年级的数学教材在家里使用，我将乐意作出安排……

重读此信，我多了一份思考：这封信非常讲究遣词造句。比如，在讲到矿矿及中国学校时，她始终用“算术”这个概念，而说到美国学校时，她都说“数学 ”。所谓“算术”，计“算”之技“术”也，似属雕虫小技。数学，是关于“数”的学问，是研究符号和数字之间的关系，以及如何用这些符号和数字来解释世间与之有关的现象。因此，数学是学术中的极品。

到底美国小学的数学教学是“磨洋工”，抑或是我们把数学这门大学问当成了计算的技巧？我在潜心研究美国教育时，终于有了一些感悟。比如关于《鸡兔同笼》的计算：

笼里有5个头和14只脚，一共几只兔几只鸡？在许多人眼里，这完全是一个计算问题。设兔为X，鸡为Y，x+y=5；4(x)+2(y)=14。

到底我们该把它看作算术教学，还是数学教学？让我们来看美国的数学教育是怎样处理类似问题的：

某个住在湖边的老人养有狗和鸭子。某天，老人看到5个头和14只脚。老人看到的是多少条狗？多少只鸭？

老师：能不能找到解决问题的方法？

学生们纷纷要求回答问题。

学生A：要找到答案并不难，只要两个公式：一个解决脚的问题，另一个解决头的问题……

老师制止学生A继续往下讲，说道：“很好！谁来设计这两个公式？”

学生B：设狗为X，设鸭为Y；4(x)+2(y)=14。

学生C写道：x+y=5。

老师：这两个公式对不对？

学生七嘴八舌：“对啦！”

老师：现在我们不要去计算答案。我们按照这两个公式来推理，看看答案是否合理……

大家你望我，我望你。不让计算，却去猜答案。老师葫芦里卖的什么药？

老师：犯愁了？不错！我们现在不打算去计算准确的答案，我们只是去猜测大致的答案。

学生仍然丈二和尚摸不着头脑……

老师：既然你们不回答，那我就来问你们，5条狗和4只鸭，对不对？

学生哄然：不对！5条狗和4只鸭，一共是9个头，老人只看到5个头。

老师：那么，谁能告诉我，狗脚和鸭脚的数目？

学生们又是你望我，我望你，不知所措……

老师：如果我告诉你们，狗不少于4条。你们认为怎么样？

学生B：不对，请看看我设计的公式：脚的总数是14，而4条狗就有16条腿。除非老人喝醉了，把自己的脚也数进去了！

哄堂大笑！

老师：非常好！那能不能是3条狗呢？

学生们陷入思考……

学生C：那也不对！

老师很感兴趣地问：“为什么？”

学生C：除非有1只鸭子，少了两条腿。您看我设计的公式，总共有5个头。3条狗有12只脚。要符合5个头，14只脚的条件，就只剩两个鸭头，两只鸭脚。因此，除非有1只鸭没有脚……

又是一阵哄堂大笑！

老师：好吧，让我们假设所有的狗和鸭子都是进化完整的，没有缺胳膊少腿的。那么，该有多少只鸭子呢？

学生再没有像前面那样沉默，而是议论纷纷。

学生D：不管怎么说，前提是不能超过5个头，14只脚。

老师：如果狗少于3只，我们能在鸭子的数量上做什么文章呢？

学生E：这就是说，鸭子必须是3只以上。因为，头的总数是5个，狗少于3只，鸭子没有3只以上凑不够5只。

老师：有道理。狗只能少于3只，鸭不能少于3只。那么，我们应该寻找的下一个线索是什么呢？

学生思索……

老师：如果是3只鸭子，鸭脚应该是……

学生们：6只鸭脚。

老师：对！如果是3只鸭子，6只鸭脚，狗的数目又该怎么算呢？

学生A：如果狗脚不能多于12只，这就是说，狗不能多于3条，鸭子至少得有3只才能凑够5个头。3只鸭，鸭脚就是6只。于是，狗只能是2条，狗脚……

老师高兴地大笑：“好！不要往下说了。请大家用公式计算吧。”

到了这一步，再用公式计算，简直是吃豆腐：狗是2条，鸭是3只。

学生B有些不太高兴：“老师，看到您那么高兴，我倒有些费解了。这2条狗、3只鸭的答案，我们推理来推理去，花了快一节课的时间。其实，一开始就让我们拿公式来算，早就该做完了……”

老师微笑着点头：“你提出了一个非常好的问题，甚至超过了‘2条狗，3只鸭’的答案。请大家想一想，为什么我们没有一开始就用公式来计算，而是花了一节课的时间来走完整个推理的过程？”

学生E：我们浪费了不少时间去推论那些不正确的答案。

学生C：我不同意“浪费”的说法。有时候，你不能证实一个答案是错的，你就不能证实另一个答案是对的。

学生F：但是，值不值得花那么多时间？

学生们七嘴八舌……

老师会心地笑了：“谢谢大家！数学课不是算术，更不是用一个似懂非懂的公式去计算一个只有公式才能告诉你的答案。公式告诉你做什么？怎么做？我们充其量像个计算器。要真正理解：为什么这么做是对的？为什么那么做是不对的？问题就不那么简单了。就像知道点击电脑的什么键，电脑会怎么反应一样，那是电脑操作员的工作。只有理解：为什么点击电脑的这里会产生这个结果？为什么点击那里会产生那个结果？那才能成为电脑程序员。我们要的是通过演绎推理和归纳推理来证实和证伪某些答案，以及在这个过程中所培养和锻炼的推理能力。”

数学的实质是一种思维方式

其实，美国的数学教学是在企图回答学数学的目的问题：数学不仅仅是计算和应用公式。数学的实质是一种思维方式，是演绎推理和归纳推理的逻辑思维方式。对许多美国人来说，学数学并不一定是目的，而是通过学数学来培养自己的能力。同时，通过学数学来理解世界、理解世间与之有关的各种现象。

许多美国人相信，学数学的目的是掌握一种思维方式，是一种解释世间许多现象的工具，是训练思维能力的手段。

我到过国内不少地方听数学课，情况却刚好相反。老师总是“赶集”式地、急急忙忙地直奔最简单的方式和答案。有一次，我到某重点小学去听数学课，老师踩着步点赶时间，课上得似乎挺活，但只给答对问题的学生一颗糖，答不对的，不给糖。没得到糖的孩子，心思都在别人的糖上。更要命的是，老师也不解释为什么不对。

课后，我问老师，为什么不向学生解释错的原因？这位年轻的老师很不好意思，但又颇有些理直气壮地说：“根据教学大纲的进度，时间不够。”我建议道：能不能在课后，由知道的同学给不知道的同学解释为什么错。后来，她给我来电话，说是我的建议收到了很好的效果。

我发现，国内的一些老师总是争分夺秒地“赶”教学内容，像上了发条似地踩着步点上课，“好”的老师可以按照设计好的教案在刚讲完课、对学生说“下课 ”时，铃声正好响起。已经有好几个美国老师跟我说到这种让他们叹为观止的现象：“怎么上课可以像发射宇宙飞船一样精确？好像遥控一样。”其实，“以老师为中心”和“以内容为中心”的教学，是完全可以做到的。该讲的内容讲完了，至于结果怎么样就无法顾及了。正像美国老师无法理解中国老师可以踩点下课一样，中国老师在听了我介绍美国的教学以后，也摇着头说：“好是好啦，可是他们怎么能完成教学内容呢？”

然而，只讲已知的正确的东西，忽略让学生去证实或证伪自己的假设，就是忽略了学生的怀疑精神的培养。鼓励学生去证实或证伪某个假设，强调的是自我教育。上面那位美国老师，通过证实和证伪的过程培养学生演绎推理和归纳推理的能力，可谓用心良苦！

“聪明”的孩子与“智慧”的学生

为什么年龄越小时，中国孩子领先美国孩子越多，随着年龄的增长这种差距却越来越小，到高中以后，中国孩子与优秀的美国孩子就基本没有差距了？

经过多年的观察与研究，我发现，中国教育培养的是聪明的孩子，美国教育培养的是智慧的学生。聪明的孩子和智慧的孩子有什么本质的区别？

我们以“西安事变”的教学为例子，可清晰地看出两者的巨大差别：

中国的大多数学校，老师讲完史实后，要求学生记时间、地点、人物、事件等，以“学会”为目的，满足于考试结果。

美国的教育则是八仙过海：比如，可能什么都不教，让孩子们分成几组，分别制做一份当时各党各派报纸，或者只给几个辩论题，让孩子组成正反方进行辩论。即便是常规教学，老师也会启发孩子的发散性思维：如果蒋不妥协？如果张、杨不和共产党合作？如果张、杨把蒋处死？如果蒋逃出西安……甚至让学生自己设想发散性的问题。无论哪种方式，学生都在收集材料、研究材料、组织观点的过程中，培养了“会学”的能力。

美国学者贾尼丝·萨博把培养“聪明的孩子”还是培养“智慧的学生”概括为两种教育：

聪明的孩子　智慧的学生

1.能够知道答案　1.能够提出问题

2.带着兴趣去听　2.表达有力的观点

3.能理解他人的意思　3.能抽象概括

4.能抓住要领　4.能演绎推理

5.完成作业　5.寻找课题

6.乐于接受　6.长于出击

7.吸收知识　7.运用知识

8.善于操作　8.善于发明

9.长于记忆　9.长于猜想

10.喜欢自己学习　10.善于反思

从很多教学的比较看，中国教育培养的学生包揽了“聪明的孩子”的所有特点；美国教育培养的学生囊括了“智慧的学生”的所有表现。

（原载：黄全愈 本文摘自《透视美国教育——20位旅美留美博士的体验与思考》，王定华主编，北京大学出版社2008年6月出版）

作者简介：

本文作者系美国迈阿密大学孔子学院院长、教育学院兼职教授、中山大学客座教授。著有中美教育比较系列《中国教育的哲理困惑》（英文）、《素质教育在美国》、《家庭教育在美国》、《生存教育在美国》、《玩的教育在美国》、《高考在美国》。.

引用:

原帖由 ccpaging 于 2008-12-7 11:31 发表
将来我计划用这样步骤解决牛吃草的问题:
1. 在看到有关风沙袭击北京时,提出这个问题.
2. 让儿子搜集有关风沙的新闻,研究报告.
3. 寻找风沙的根源. 评价过渡放牧对风沙形成的影响.
4. 引入牧民一家的生活,提出牛吃草的问题. 如果有机会去一次内蒙就太好了.
5. 让儿子给这家牧民提出建议.

有这个想法的话可以看看这个帖子：
http://ww123.net/baby/thread-4587999-1-1.html

很好的一个题目。.

引用:

原帖由 ccpaging 于 2008-12-7 00:36 发表
如何解释这道题

从理论上说“0.9……（循环小数）”不等于“1”，但我经过数学推理，“0.9……（循环小数）”就等于“1”。具体推理过程如下：
0.9……（循环小数）=0.3……（循环小数）×3=(1/3)×3=1
推理 ...

这里有过讨论的：
http://ww123.net/baby/thread-4553725-1-1.html.

引用:

原帖由 hxy007 于 2008-12-7 15:26 发表
在下非常赞同数学即使没有用也值得去学习、钻研、把玩的观点，可同时也反对在数学启蒙阶段脱离生活、游戏以及孩子认知方式去教授纯粹的数学。

赞同。数学不仅仅是一堆定义和公式，更要了解后面的来龙去脉。.

茄妈幽默的。.

引用:

原帖由 qiaoyingq 于 2008-12-8 11:19 发表
上周小女的数学周末卷：有两种水果，芒果每箱6千克，共72元，苹果每箱4千克，共52元。哪种水果便宜？便宜多少？小女答卷：72-52=20，答：苹果比芒果便宜20元。我没晕过去算万幸。
我拿了6粒德芙巧克力，6粒吉百利巧 ...

没错啊，一箱苹果比一箱芒果便宜20元。你又没有问单价。

再次印证楼主前面说的“其实就是考语文”的观点。.

引用:

原帖由 qiaoyingq 于 2008-12-8 15:06 发表
可是每个水果的含金量是苹果贵呀？！这两种水果的价格所包含的重量应不计吗？

大人会假定题目问的是单价，可能题目的本意也是如此，但是应该允许小孩理解为总价。
不管怎么样，这里的问题已经跟数学没有关系了。这完全是一个生活常识或者交流沟通的问题。
考试最好不要出这种模棱两可的题目。.

挑个刺， 杨过是后辈，和郭靖同时的是杨康。.

看图列式题老搞的。.

“1除以0等于无穷大”是一个约定，而不是一个证明。既然是约定，只要大家都认可，而且不会在现实中造成麻烦就可以了。当然有些约定可能比其它约定在某些方面更合理一些。

“1除以0没有意义”也是一种约定，比如在计算机中用0去做除法，计算机就会报告错误。

“1除以0等于0”也可以是一个约定，但是这个约定很不好，跟我们已有的数学相矛盾。

这个问题不必下结论，关键是让孩子了解为什么1除以0的结果不能是一个确定的数。.

球面是一个“有限但无界”的典型。设想一个生活于球面的二维生物，它可以走遍球面，一直走下去不会碰到边界。如果它足够聪明，并且走得足够快，也许会意识到自己所在的“世界”是有限的。对它来说，任何一个点都是它所在的世界的中心。.

我只是用通俗一点的例子。事实上有一种宇宙学理论认为我们所处的宇宙正是有限无界的。.

很有意思。收下，等我家孩子大了再教他。.

我觉得你可能有点钻牛角尖了。我们无法给小孩子讲无限的严格数学定义，给他们一些感性认识就可以了，也就是所谓的“悟”。.

幼儿园.

好主意，可是我家孩子太小了。你们先搞起来。.

《死亡诗社》不错！

你的老师也很牛！！.

你这个“基因”是生物学意义上的那个基因吗？我看你用了好几次这个词了，一直没有搞明白，故有此问。.

引用:

原帖由 YANGXIMI 于 2008-12-15 11:07 发表
偶不懂那么高深咯东东，还要前生今世咯，复杂得咧。偶只知道，蕃茄是财迷，财迷天生就会懂负数，哈哈哈。

星期六，他问偶借两块钱，据说要去买彩票，然后走到门口又舍不得了，因为这样子他就要“欠债的”！！！

欠债好呀，通货膨胀，欠债的是大爷。.

引用:

原帖由 jyuntoku 于 2008-12-15 09:41 发表
是指生物学上的基因。
实验发现，刚出生的婴儿对于数量以及数量的加减变化就有本能的反应。
理论认为，对于正整数的概念以及加减（特别是加法）的理解是人类生存所必须的能力，所以这种能力在进化过程中进入了我们 ...

你这个说法太雷人了。如果真有此事，请列出是哪个实验室做的，结果发表在什么刊物上，实验方法是什么。.

481楼太长，还没有读完。先回复前面几个帖子。

“负数的概念进入我们的基因”的这个说法意味着人类DNA里面有一个专门管理负数的基因。如果说有实验支持，那就意味着通过生物工程手段把这个基因分离了出来，敲掉这个基因的人无法理解负数，而拥有这个基因的人不需要教就可以掌握负数。如果真有这样的实验，应该会宣传得满城皆知，这并不是事实，所以我觉得这个说法很雷人。

认知心理学上的能力跟分子、基因水平上的质素，还是大相径庭的。天生具有自然数的概念，也不能就说是拥有计数的基因。.

长篇大论、专有名词等可能要吓倒不少BBMM，其实删繁就简，只要记住两句话：

要尊重自然规律，不可拔苗助长，也不可放任自流。
自己不清楚的，要尊重老师和教育专家的意见。

有兴趣的可以了解一点认知心理学和儿童心理学。.

引用:

原帖由 hxy007 于 2008-12-15 16:20 发表


　　好几年前，我旁听过由哲学、社会学、教育学、生物学等领域青年才俊举行的一次学术沙龙。他们极其兴奋地在谈论生物分子学（不知不有没有听错，错了请指正）中的一个重大发现——罪犯的基因在某个部位不同于常 ...

分子生物学.