1. 先证7是最少的数目, 并给出一个例子
如图1,ADEFG是正五边行,O为它的中心,延长AD, FE, AG, EF便得三角形ABC,
易证其中每个小三角形都是锐角三角形.
(△AOD, △AOG, △ODE, △OEF, △OFG, △BDE, △CGF)
以下说明7个是最少。
∠A为钝角,必须从A引出一条线,这条线若是到达对边,
则得到的三角形中又有一个钝角三角,题目回到初始状态，不可。
这条线若不与对边相交,则必在三角形内终止,设为O点.
O点处圆周角至少分为5个角才能保证都为锐角,这样便有了5个三角形,
再加上B,C处两个,至少7个。
图1
2. 再证必然性, 并给出剖分方法
易知,顶角为锐角的等腰三角形必为锐角三角形[#1].
如图2
设A为钝角,作出三角形内心O (角平分线的交点), 则AO,BO,CO都是角平分线。
作∠BOD = ∠BOE = (∠A+∠C)/4, ∠COF = ∠COG = (∠A+∠B)/4
则△BDE, △ODE, △CFG, △OFG都是等腰三角形,
∠DOE = (∠A+∠C)/2 < 90°, ∠FOG = (∠A+∠B)/2 < 90°,
据#1, △BDE, △ODE, △CFG, △OFG是锐角三角形.
∠OEF = ∠ODA = ∠B/2 + (∠A+∠C)/4
< (∠A+∠B+∠C)/2 = 90°
∠OFE = ∠AGO = ∠C/2 + (∠A+∠B)/4 < 90°
∠DAO = ∠GAO = ∠A/2 < 90°,
∠AOD = 180°- ∠A/2 - (∠B/2 + (∠A+∠C)/4 )
= 180°- (∠A+∠B+∠C)/2 - (∠A-∠C)/4
= 90° - (∠A-∠C)/4 < 90°,
同理
∠AOG = 180°- ∠A/2 - (∠C/2 + (∠A+∠B)/4 ) < 90°,
∠EOF = 180° - (∠B/2 + (∠A+∠C)/4 ) - (∠C/2 + (∠A+∠B)/4 )
= 180° - (∠A+∠B+∠C)/2 - (∠B+∠C)/4
= 90° - (∠B+∠C)/4 < 90°
故7个小三角形都是锐角三角形。
图2
[
本帖最后由 helenLee 于 2006-12-8 22:32 编辑 ].
