无解。

设最大公约数为a，较大的数为ma，较小的数为na，
a、m、n均为正整数，m、n互质且m>n
则它们的最小公倍数为mna
ma-na=90
a+mna=240
得240（m-n)=90(1+mn)
8m-8n=3+3mn
m=(3+8n)/(8-3n)
3+8n>0 ,所以8-3n>0
n=1、2
但m均不为整数
故无解

当然，简单的奇偶校验就知n必是奇数.

假设24次都是出16题
则共24x16=384题
还少426-384=42题
换一次20题则多4题
换一次25题则多9题
穷举一下易得25题2次，20题6次，16题16次

（426/24=17.75
25-17,75=7.25
20-17.75=2.25
16-17.75=-1.75
所以绝大多数出题是16题）.