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原帖由 笨笨兔子 于 2009-10-22 11:42 发表
竞赛真题又来了，继续向大家请教：

老师在黑板上写了3个不同的整数，小明每次先擦掉第一个数，然后在最后写上另两个数的平均数，如此做了7次，这时黑板上的3个数的和是159。如果开始时老师在黑板上写的3个数之和为2008，且都是整数，那么开始时老师在黑板上写的第一个数是什么？

可以设定三个数依次为a、b、c（且三者不同），则有a＋b＋c＝2008。
按规则7次后，三数分别为（11b＋21c）/43、（21b＋43c）/64、（43b＋85c）/128，则有（11b＋21c）/43＋（21b＋43c）/64＋（43b＋85c）/128＝159，简化得43（b＋2c）－c＝43×158－10。
综合上述两个条件，即可得到：a、b、c三数分别为1960、138、10。

[ 本帖最后由 pharm 于 2009-10-23 00:45 编辑 ].

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原帖由 笨笨兔子 于 2009-10-22 11:42 发表
某个自然数的个位数字是4，将这个4移到左边首位数字的前面，所构成的新数恰好是原数的4倍，问原数最小是多少？

设原数为a4（上面加横线），其中，a为多位数。
则有a +10^n＝（10a＋4）×4，其中，n为自然数。
简化得a＝10^n－（10^n－16）/39
根据10^n－16的个位数为4、且必须是39的倍数，则10^n－16为84、984、9984、99984、9…984之类的数值，从而可以通过枚举法确定，10^n－16＝9984为符合要求的最小数，此时n＝4，a＝10256。所以原数最小为102564。

[ 本帖最后由 pharm 于 2009-10-23 00:45 编辑 ].