寓理于算的思想容易被忽视
小学里主要学计算，不讲推理。但是，计算和推理是相通的。
中国古代数学主要是找寻解决各类问题的计算方法，不像古希腊讲究推理论证。但是，计算要有方法，这方法里就体现了推理，即寓理于算的思想。
数学活动中的画图和推理，归根结底都是计算。推理是抽象的计算，计算是具体的推理，图形是推理和计算直观的模型。我们可以举些例子，让学生慢慢体会到所谓推理，本来是计算；到了熟能生巧的程度，计算过程可以省略了，还可以得到同样的结果，就成了推理了。有的人认为几何推理很难，学几何一定要先学实验几何。其实，实验和推理不一定要截然分开。早期学实验几何阶段可以推理，后期学会推理时也需要实验。所谓实验，无非是观察和计算。“对顶角相等”这样简单的几何命题，实际上二就是通过一个算式证出来的，这里的推理证明就是汁算。
要把计算提升为推理，就要用一般的文字代替特殊的数字，再用字母代替文字。不要怕让学生早点接触字母运算。讲到“长方形的面积=长×宽”的时候，不妨告诉学生，这个公式可以用字母表示成m=c×k。这里用了面积、长、宽的汉语拼音，学生很容易理解。再说明用别的字母也可以。
为什么说这样能把计算提升为推理呢?看一个简单的例子。设一个三角形A边上的高为H，而B边上的高为G，根据三角形面积公式，就知道A×H=B×G；如果A=B，则H=G。这就推出了一条规律：如果三角形的两条边相等，则此两边卜的高也相等。也就是证明了一条定理。这种证明方法比利用全等三角形简单明了。
我曾经在一张小学数学戚卷上看到这样一道题：“正方形的面积是5平方分米，求这个正方形的内切圆的面积。”表面上看，这个问题小学生解决不了，因为要求圆的面积，一般要知道圆的半径，这题中就需要先知道正方形的边长，而正方形的面积是5平方分米，边长就是、√5分米，小学生没有学过开方，似乎没有办法进行计算。而实际上，正方形的面积是它边长的平方，圆的面积用到的是半径的平方，并不一定要知道半径，知道半径的平方就行了，而此题中半径的平方是直径平方(即正方形面积)的四分之一，所以是能够解决的。但有很多学生解决不了，而告诉他们答案后，学生往往觉得非常简单。这是为什么呢?这就说明学生不能把计算转化为推理。引导学生认识计算和推理的关系，从计算发展到推理。是很重要的。这里有很值得研究的问题。
小学生学的是很初等的数学，但编教材和教学研究要有高观点。英国著名数学家阿蒂亚说过，“数学的目的，就是用简单而基本的词汇去尽可能地多解释世界”，“如果我们积累起来的经验要一代一代传下去，就必须不断努力把它们简化和统一”，“过去曾经使成年人困惑的问题，在以后的年代，连孩子们都容易理解”。这几句话，我觉得非常亲切，因为多年来我一直在想能不能把数学变简单一点，把难的变成容易的，把高等的变成初等的。我想，高等的与初等的数学之间，没有必然的鸿沟，主要看人们如何理解。把变量与函数的思想、形数结合的思想和寓理于算的思想结合起来，往往能够化难为易，化繁为简。
人们以前认为三角函数是非常难学的，是高等数学的内容。它既不是加减乘除，又不是开方，它是超越函数。在数学史上，函数这个词是和三角紧密联系在一起的。一次函数、二次函数都是算术运算的结果，就算没有函数的概念，学生也是比较容易理解的。三角函数则不然，一定要有“对应”的概念，函数的概念才说得清楚。有关三角的推导也是数学教学的难点。1974年，我在新疆教过中学，那时发现学生学习三角比较困难，就开始研究如何把三角变容易。在我写的一本书里(《平面三角解题新思路》，1997，中国少年儿童出版社)讲了这方面的具体想法。最近发现，三角不但可以变得很初等、很容易，而且可以成为初中数学的一条主线，把几何和代数联系在一起。我把这种思想写成一篇文章(《下放三角全局皆活》，《数学通报》，2007年1—2期)。张奠宙先生说，按我的这种思路，三角里的正弦函数，可以在小学里引进。如何引进呢?他把我提出的正弦函数的新的定义方法，作了生动、通俗而精彩的表述。下面这段文字引自他的文章：
矩形用单位正方形去度量，结果得出长乘宽的面积公式。那么平行四边形的面积怎么求?自然是用单位菱形，同样可以得出平行四边形的面积是“两边长的乘积，再乘上单位菱形面积的因子”，原理完全相同。一个明显的事实是：单位正方形压扁了，成为单位菱形，两者的区别在于角a。a是直角，面积为1，a不是直角，面积就要打折扣。这个折扣是一个小数，和a有关，记作 SINa(图5)。
张奠宙先生还说：“如果能从小学就学SINa，当然是一次解放。”
我们看到，数学可以有不同的讲法。看清了问题的实质，就能把难的变成容易的，把高等的变成初等的。就能把“过去曾经使成年人困惑的问题”，变得“孩子们都容易理解”。
不考虑矩形面积公式，不用单位菱形，也能在小学里讲正弦。怎么讲?先问，一个等腰直角三角形，如果腰长为1，面积是多少呢?学生容易回答，是0.5。进一步探索，如果这个等腰三角形的顶角不是90度，比如是60度，它的面积是多少呢?学生从图上会看到，90度变成60度，面积会变小，要打个折扣。多大的折扣呢?这可以从纸上测量出来一个近似值。老师进一步告诉大家，这个折扣的更精确的数值，可以在计算器或计算机上查出来，它叫做SIN(60。)，约等于 0.8667，这就引进了正弦函数。知道了正弦函数，就能解决许多实际的几何问题。如果问，这个0.8667怎么得来的，就引出进一步的数学方法。这样不仅教给学生知识，更重要的是教他如何提问题、如何思考、如何获取新的知识。
这里，既有数形结合，又有寓理于算，还贯穿着变量和函数的思想。有些老师不是说缺少好的探索问题吗?这就是非常有意义的探索问题，它给学生留下很大的思考空间，会使学生长远获益。
陈省身先生说过，数学可以分为好的数学与不好的数学。好的数学指的是能发展的、能越来越深入、能被广泛应用、互相联系的数学；不好的数学是一些比较孤立的内容。他举例说，方程就是好的数学。
函数的思想、形数结合的思想、寓理于算的思想，都属于好的数学。这些思想是可以早期渗透的。早期渗透是引而不发，是通过具体问题来体现这些思想。比如引进了SINa，用这个概念解决几个看来很困难的问题(参看前引文章和书)，学生会惊奇，为何能如此简捷地解决问题?学下去，过三年五年，他就体会到，是数学思想的力量。
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本帖最后由 ccpaging 于 2010-12-26 18:57 编辑 ].
