引用:

原帖由 俩子爸 于 2007-5-5 10:10 发表
大学的呀。“负担”新闻。

新闻系不简单啊。.

我曾在《数学通讯》杂志上讨论过更一般的问题：

在△ABC周围作三个已给定形状的三角形BCA′、CAB′、ABC′，如何由A′、B′、C′三点及三块已知的形状倒过去确定原△ABC？

这一问题已彻底解决。.

引用:

原帖由 老封 于 2007-5-3 20:33 发表
挂一个问题供大家思考：
设△ABC中，A点关于BC边的对称点为A′，B点关于CA边的对称点为B′，C点关于AB边的对称点为C′。
经探索发现，对某些三角形来说，A′、B′、C′可能位于同一条直线上！
谁能把这样的三 ...

经过探索，我得到的结论是，满足A′、B′、C′位于同一条直线上的点的轨迹是比较复杂的方程曲线，每条边上下各有一条，共三条曲线，附图中点B、C的坐标分别为（-a,0）、（a,0）。

[ 本帖最后由 老殿 于 2007-5-5 13:34 编辑 ].

中学的几何，需要分难么细。真希望有实用几何。.

引用:

原帖由 老殿 于 2007-5-5 13:18 发表


经过探索，我得到的结论是，满足A′、B′、C′位于同一条直线上的点的轨迹是比较复杂的方程曲线，每条边上下各有一条，共三条曲线，附图中点B、C的坐标分别为（-a,0）、（a,0）。

很高兴又遇到老殿了！的确，这种关系确是比较复杂的。利用余弦定理，不难用△ABC的三边长a、b、c表示出△A′B′C′的三边长，但因涉及余弦三倍角，所以写出的关系很繁琐，不便应用。

现除了120°为顶角的等腰三角形这一平凡情形外，我还未能在几何画板中精确画出使A′、B′、C′真正共线的图形，能不能构造出一个实例来？这样就能验证前述猜测。

请问，你这条曲线是用几何画板画的，还是用Mathematica画的？.

引用:

原帖由 StarBugs 于 2007-5-5 13:30 发表
中学的几何，需要分难么细。真希望有实用几何。

难，并不是平面几何追求的目标。但遇难而退，也不是学习平面几何所应有的态度。单教授曾经说过，学习数学不能老是“喝白开水”。应该去思考一些有意思的问题，哪怕很难也不会影响我们思考的乐趣。只有不畏艰险，才能领略到胜境！.

多做“好的数学”，经常思考有质量的问题，才能从中磨炼出人的素质。

题目通常分为两种，一种是常规题，有固定的套路可循；另一种就是我所说的有意味的问题，这往往需要靠发挥自己的创造性和主动性才能有效解决，思考这类问题才更有助于能力的提高。.

对于前面那个问题，当周围三个给定形状的三角形都是以120°为顶角的等腰三角形时，就相当于是拿破仑定理的情形。
因此，若△A′B′C′不是正三角形，逆问题便无解；
若△A′B′C′是正三角形，情况就变得不确定，这时有无穷多解──可随意取一点作为A，然后作△AC′B、△AB′C使之为120°顶角的等腰三角形；这时可以证明△A′B C也一定是120°为顶角的等腰三角形。因此△ABC便满足要求。.

再挂一个逆问题供大家思考：

作△ABC每个顶点关于对边中垂线的轴对称点A′、B′、C′，问如何由△A′B′C′逆向确定原△ABC？

这个问题并不难回答，明天公布答案。.

问题：作△ABC每个顶点关于对边中垂线的轴对称点A′、B′、C′，如何由△A′B′C′逆向确定原△ABC？

答案：作出△A′B′C′的外接圆，并分别作∠A′、∠B′、∠C′的外角平分线，依次交外接圆于A、B、C三点，则△ABC便满足要求。.

注记：其实上述操作有一规律──由此作出的A′、B′、C′三点总位于△ABC的外接圆上，因此外接圆这一不变的框架便应是我们考察此题的重要立足点。

不难发现，△A′B′C′的三边方向与△ABC的“垂三角形”恰分别平行（反位似）！由此就不难找出前面的作法。.

我还曾将此改编成简易的题（2005年10月27日）：

“已知：五边形APBCQ中，AP＝AQ＝BC，且PB∥AC，QC∥AB（即APBC和AQCB都是等腰梯形）；BE⊥AC于E，CF⊥AB于F。求证：PQ∥FE。”

不难体会到这题和上面那个结论的彼此等价性。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-5-6 00:43 编辑 ].

如果把由△ABC确定△A′B′C′的过程反复迭代，就可得到如下漂亮的图形。
不知这是否满足StarBugs的美学要求？.

这是用画板画的，而且已经验证你的猜想没有问题，文档马上发到你的邮箱中。

[ 本帖最后由 老殿 于 2007-5-6 08:27 编辑 ].

关于对边对称的顶点三角形反复迭代最终得到一个正三角形，能够简单证明吗？.

我估计这种迭代未必都趋于正三角形，有不少三角形最终会掉到共线的“黑洞”中去。.

刚刚收到了老殿的邮件。

他的这一精确图形表明，前面猜测的正确性已借助几何画板得以证实！

现继续征求数学上的证明。.

这是老殿的邮件：
“×兄你好:
这是满足A'、B'、C'共线的画板文档，可以验证你的猜想都是正确的。假期很忙，没有多少时间和你讨论问题，只有羡慕你们讨论的份。
弟：殿林
07-05-06”.

引用:

原帖由 老殿 于 2007-5-6 08:20 发表
关于对边对称的顶点三角形反复迭代最终得到一个正三角形，能够简单证明吗？

刚才我在研究这一迭代过程，发现其中出现了混沌现象，极为复杂！

正三角形似乎只是一个“吸引子”，但“黑洞”肯定是大量存在的。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-5-6 16:07 编辑 ].

作为对照，我建议大家可以试着玩一下数论中的如下迭代：

把一个大于1的自然数n的全部“真约数”（包括1，但n本身不算）全部加起来，得到一个新的自然数；然后不断重复上述过程。

例如：20→22→14→10→7→1
大多数自然数都会像这样最后终止于1（倒数第二个是质数）。但也有例外：
         6→6→6→6→···
         28→28→28→28→···
以上这些就是所谓“完全数”；又如：
         220→284→220→284→···
         1184→1210→1184→1210→···
以上这些就是所谓“亲和数”；已经找到三节循环乃至28节循环的存在，不过数字都挺庞大。（可参见《数论妙趣》第4章）
甚至近年有人还证实了这类序列有发散的可能性！.

看着你们对几何的这种执着，感动～～.

我儿子编了个vb小程序，求自然数的真约数和，还能不断迭代。大家试试看！
（用法如下：把数字输入第一个文本框；先点击上面的按钮，再不断点击下面那个按钮，直至最终变0为止）.

用这个程序，玩玩360的迭代过程：

360→810→1368→2532→3404→2980→3320→4240 →5804→4360→5540→6136→6464→6490→6470→5194→4040→5140→5696→5734→3194→1600→2337→1023→513→287→49→8→7→1.

引用:

原帖由 carrie813 于 2007-5-7 11:12 发表
看着你们对几何的这种执着，感动～～

谢谢鼓励

其实这不过是一种愉快的学习过程。


被逼迫着去学习是件痛苦的事情；可谁要是被剥夺思考的权力，那将是一件更为痛苦的事情！.

昨晚儿子对求真约数和的vb小程序又作了改进，使用效果好多了！

只要将一个初始值输入框中，就可不断迭代成串。大家不妨下载试试。

如像222，840这些数，都会发生爆长现象；6，66，666，6666，······这一串数表现也都非凡，真是奥妙无穷。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-5-9 12:58 编辑 ].

这是个生成醉鬼路线的画板,也是儿子作的:.

明晚又要公开课了！
忙于准备，没时间了。.

又要开公开课啦, 在哪里啊.

引用:

原帖由 黑发侠女 于 2007-5-10 16:47 发表
又要开公开课啦, 在哪里啊

明晚6点半，还是老地方。
www.jw-edu.cn/.

又有一位解题高手——安徽唐传发老师，他还没有登陆，仅仅只是浏览了网页。
他对△ABC每边向对边作轴对称点这一问题提出一个新思路：什么时候△A′B′C′的面积恰与△ABC相等？什么时候是两倍？四倍？最好把充要条件一一找出来。
注记：上面已提到，当△ABC是直角三角形时，△A′B′C′的面积是其三倍，其实这也是充要的；而极大值五倍是取不到的，只有当△ABC退化成线时才能趋近于它。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-6-1 11:33 编辑 ].

是要这几种情形吗？.

太好了!老殿,干得漂亮.
能否把画板文件发给我?.

画板文件已经发送到你的邮箱。.

承老殿指出，我上面说的“当△ABC是直角三角形时，△A′B′C′的面积是其三倍，其实这也是充要的”这句话有漏洞。
其实除了直角三角形外，当顶点A在另外两支曲线上运动时，仍能使△A′B′C′的面积是△ABC的三倍（见图）。
因此，使面积为三倍的A之轨迹就有：
（1）以BC为直径的圆；（2）过B、C所作的BC之垂线；以及（3）上述两支高次曲线。
情况真够复杂的！
不过，还可注意到细微的区别：当△ABC是直角三角形时，△A′B′C′的顶点是按逆时针排列的；而对应于上述曲线之情形，△A′B′C′的顶点就改以顺时针排列了。看来若改用有向面积，就能区别上述两种情形了。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-5-14 16:36 编辑 ].

本周末，老封的初二、初一班先后推出了。
据初二的同学说，内容过浅了一些。是的，这是第一节开场白，有些内容照顾到了在座的那些小同学。从第二节课开始，会及时调整节奏的。
希望班内同学涌跃与老封讨论！
需要几何画板软件的同学，下次可稍稍提早到校，在课前拷贝。.

引用:

原帖由 老封 于 2007-5-14 10:34 发表
承老殿指出，我上面说的“当△ABC是直角三角形时，△A′B′C′的面积是其三倍，其实这也是充要的”这句话有漏洞。
其实除了直角三角形外，当顶点A在另外两支曲线上运动时，仍能使△A′B′C′的面积是△ABC的三 ...

正如老封所言，采取有向面积，上述解是一组的，如果不考虑面积符号，一般情况下都应该有两组解，只有共线时解是一组的，但当面积比为4时，另一个解已经退化为一点，即正三角形一个顶点，面积比为（4，5）之间的解已经为“虚的”曲线。

[ 本帖最后由 老殿 于 2007-5-14 14:40 编辑 ].

3倍面积比的另一种情形正是以BC为直径的圆及该圆在B、C两点处的切线。.

看来这个问题已研究得够彻底的了。
数学中有些问题比外表看来的更为复杂，几何也不例外。
作三边的对称点，看似简单，没想到导出了这么一系列的问题。真佩服老殿穷追猛打的钻研精神啊！.

老封过誉了，你那渊博的知识和深刻的洞察力才更令人佩服。
正如你所说有些问题比外表看来的更复杂，也许是这种复杂性里蕴涵着迷人的数学美，才令人流连于其中不忍离去。
愿更多的人能和我们一起畅游。.

我的感觉是，当一个图形经过轴对称操作后，其复杂性会意外增加。
昨晚又在研究一个新的构形——任意直线关于△ABC三边作轴对称的直线，围成一个新的三角形，发觉这个图形意蕴非常丰富。现已将初步成果写下来了，见：
ww123.net/baby/thread-4419985-3-1.html.

请教封老师，儿子读初二，这几天学校在教平几（梯形、正方形等），儿子掌握得不好，怎么办？谢谢指导。.

引用:

原帖由 xiangying 于 2007-5-16 09:41 发表
请教封老师，儿子读初二，这几天学校在教平几（梯形、正方形等），儿子掌握得不好，怎么办？谢谢指导。

他对此感兴趣吗？.

只要孩子对平面几何是感兴趣的，那学好它就是有希望的。
我想学起来不适应，可能有多方面的原因。初二的平几是一道难关，从这里开始难题多起来了，思想方法也需要相应跟上。
如果在这一阶段一下子觉得难以适应了，可能是老师教法上的原因，或者是是教材本身的原因。
现在的教科书越编越平淡，值得动脑筋的好题目也越加罕见了。以这样的书要让孩子感兴趣，我看很难。
我建议的应对办法是：找个好老师适当点拨一下，也许他就会走上思维的正道了。.

谢谢，我懂你的意思了，在这交流很高兴。.

上一页面中曾提到一个问题：给定垂三角形，如何确定原三角形？
我在解答中要求垂三角形必须是锐角三角形，这个要求是多余的。
其实情形一样，它的逆问题总有四组解。.

最近，结识了一位聪明的小朋友——实验学校的陆一平同学，他对几何十分喜爱，虽只有小学三年级，但通过自学几乎已掌握了初中几何大多数的知识点，而且还善于思考，做起题来真不让于初中的大同学。

前不久他还学会用几何画板自己来作图，兴趣更是提高了。

他告诉我说：目前他只对几何感兴趣，对代数还不太感兴趣。

这是最近他画过的一个图：

在△ABC的AB、AC两边外作正方形ABDE和ACFG，联结CD、CE分别交AB于P、S，联结BF、BG分别交AC于Q、T；然后联结ST和PQ。.

通过观察探索，可从图中归结出ST∥PQ的结论。

胡适说过“大胆假设，小心求证。”能发现结论是一回事，严格地论证它又是另一回事。

以下是我们之间的一段对话，记录下了对这个问题的讨论过程：





老封：该通过什么手段证实ST∥PQ？

陆一平：只要能证明AS∶SP＝AT∶TQ就可以了。

老封：那么如何去联系这两个比呢？
（我提醒考虑面积的手段。）

陆一平：可把AS∶SP和AT∶TQ分别转化为S△AEC∶S△PEC和S△ABG∶S△QBG。由于△AEC≌△ABG，所以只要能证明S△PEC＝S△QBG就行了！

老封：现在，你打算怎么来处理S△PEC？.

他深思片刻，给出了如下绝妙的论证：
如图，S△PEC＝S△CDE－S△PDE
＝1/2×CI×DE－1/2×PJ×DE
＝1/2×（CH+AB）×AB－1/2×AB×AB
＝1/2×CH×AB＝S△ABC。
这样S△PEC和S△QBG就都等于S△ABC，于是整个问题就得以证明了

[ 本帖最后由 老封 于 2007-6-14 12:35 编辑 ].

呵呵，真是厉害！.