已知实数x、y、z，满足x+y+z=a，求证 ：x^2+y^2+z^2>=(a^2)/3

x^2表示x的平方。.

引用:

原帖由 老猫 于 2007-10-7 07:42 发表
已知实数x、y、z，满足x+y+z=a，求证 ：x^2+y^2+z^2>=(a^2)/3

x^2表示x的平方。

（x+y+z）^2=a^2
x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=a^2
因为a^2+b^2>=2ab
所以x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx<=3(x^2+y^2+z^2）
得3(x^2+y^2+z^2）>=a^2
x^2+y^2+z^2>=(a^2)/3
得证.

x^2+y^2+z^2－(a^2)/3＝[3x^2+3y^2+3z^2-(x+y+z)^2]/3
=(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx)/3=[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]/3>=0
所以：x^2+y^2+z^2>=(a^2)/3.