菜鸟视野为菜鸟对数学学习方法胡思乱想之结果未参考现行中小学课本，未经数学和教育专业人士审核，常常前后矛盾，逻辑混乱，不符合数学思维之严谨性，故菜鸟不保证文中引用的正确性，推理的正确性和结论的正确性，观看本文所引起的所有不良反映（包括但不限于头晕，呕吐，感冒发烧等），均后果自负，菜鸟不承担任何责任。

目录
数学思维培养之不完全感想…………………………………………………………………………#2，3
数量结合之路…………………………………………………………………………………………#4
初等数学的天王山……………………………………………………………………………………#5
奥数越早学越轻松……………………………………………………………………………………#6
数学的推动力…………………………………………………………………………………………#7
欧几里得（ccpaging）…………………………………………………………………………… #8
弟子规中的“非系统适度超前”…………………………………………………………………… #9
有多少童年可以重来，有多少大脑可以挥霍……………………………………………………… #10
九九表和十九乘十九表……………………………………………………………………………… #11
幼儿园教的数学……………………………………………………………………………………… #12
关键在于怎么学，而不是学什么…………………………………………………………………… #13，14
如果数学是你的弱项（转）………………………………………………………………………… #15－18

[ 本帖最后由 jiangying 于 2011-8-18 16:46 编辑 ].

数学思维培养之不完全感想(2010-06-30 11:46:38)
    这几天，连续两次听到数感这个词，我不知道什么是数感，于是baidu了一下，见到这样的定义：“数感是人们主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识”和这样的解释：“在人们的学习和生活实践中，经常要和各种各样的数打交道，经常有意识地将一些现象与数量建立起联系，这就是数感。”于是有了这样一篇乱文，绝对原创，个人意见，错误难免。
    一.对学校教学的看法
    在谈数学思维培养前，我先谈谈对学校教学的看法。我的观点很明确：学校的教学是底线而不是上限。基于以下两点考虑。
    1.学校遵循课程标准进行授课，目的是保证所有的学生都达到一定的知识水平，得照顾大多数学生，而孩子们的水平参差不起，必然有很多孩子超过学校教学的要求。
    2.新课标对年级的划分是人为的，而数学是一个有机的整体（其实其他学科也是）。某些条件下完全可以跳出年级划分的框架。
    在这样认识的基础上，我对类似这样的问题都觉得不可理解，“什么时候可以学XX?"问题改成这样似乎要好些，“x岁该怎么学XX？”不应该是什么时候学，而是什么时候该怎么学。前一个问题就是把底线当成上限，必然限制孩子的发展。
    二.基础教育阶段数学学什么
    数学是自然科学的基础，学数学学的是规律，孩子学数学就是学如何总结和应用这些规律。跳出年级划分的框架来看，中小学12年，数学就学了两个方面，数与代数，几何，其中它们在初三交叉一次，就是三角函数，在高二交叉一次，变成解析几何（不是很清楚现在的课程设置，参照的我们以前的，下同）。而数学的难点,其实也就3个,小学阶段的应用题,初中阶段的因式分解和几何证明。掌握这两条主线并克服这三个难点，数学应该不成问题。
　　三.数学思维的培养
　　孩子数学思维的培养应该跳出年级的框架，全方位的在生活中培养。
　　1.数和代数
    如果我的理解没错，数和代数的基础就是数感，数感包括但不仅限于以下三个方面。
    a.数量结合
　　数量结合不仅仅要知道数量的对应，还得知道数量的关系，比如，两堆苹果分别是两个和四个，对应的不仅是2和4，还有多2，少2，移1个就相等，等等。
　　但是这样还是不够，数量结合的量不局限于定量，还包括变量，没错，就是初一才学的函数的变量，幼儿园和小一学的数的分解和组合就是函数，如果用逆序法进行数的分解，就已经把函数概念体现得淋漓尽致，幼儿园的孩子完全有能力掌握简单的函数思维，虽然他不知道什么是函数。在日常生活中，函数的概念也无处不在，家里3口人，吃饭要6支筷子，今天来了一个客人，会多几支。
    初中的函数学得好不好，就在于小时候数量结合掌握得好不好。
       b.数形结合
     华罗庚说过：“数形结合千般好,隔离分家万事休,几何代数统一体,永远联系莫分离。”我认为数形结合分为两个方面，一个是几何和代数的统一，另一个是代数内部的结合。现在的一年级有些题已经是多元一次方程组了，只不过用苹果和梨子这样的东东代替x,y这样的抽象符号而已，幼儿和儿童实际的数形结合会直接影响以后的代数思维。算盘是一个很好的数形结合工具，虽然它已经不在是很好的计算工具。传统的算盘可以进行16进制计算，16进制在电脑应用中非常的广泛。
    c.数序结合
    这个不用多说了，很多成年人都结合得不好。问个简单的问题，家住在6楼，上到多少层是一半？估计很多人都会回答3层，而答案是3层半。
    2.几何
    自然界有很多形状，规则的，不规则的，学习几何就是研究这些形状，农耕社会的丈量，治水，都离不开几何，现在的工程也离不开几何。多多培养孩子的地图感觉和空间思维就行了。
    3.速算
    速算有没有用，现在是有争论的，说无用的人很常用的一句话：“又不当会计，算那么快干什么？”实际上，现在的会计没几个算得快的，基本都是用一个大大的计算器（还是非科学计算器）解决问题。我个人认为速算还是有用的，具体有什么用，就说不出来了，就算介于有用和无用之间吧。不过不管是否有用，在数学思维没有建立前学速算都不是一个好的时机，如果孩子对数很敏感，速算也就没有学的必要了。
    4.奥数
    如果有人问我奥数什么开始时候学，我的问答永远是幼儿园。不是所有的学习都是一板一眼地坐着听老师上课。当然如果有人问我幼儿园奥数怎么学，那是另外一个话题，我无法回答的话题。现在的奥数才是真正的数学思维，虽然奥数竞赛有点难，有点偏，有点怪。
    数学思维的培养不需要题海，不需要大量的教辅，跳出思维的框子，年级的限制，甚至学科的限制，给孩子一个广阔的空间。.

　　前几天写过一篇数学思维培养之不完全感想http://blog.sina.com.cn/s/blog_49926d310100jfgm.html，本文为一些其他感想，对比上篇要凌乱些，不过既为不完全，乱就乱吧，自娱自乐之文而已，错误难免。

　　1.对数学新课标的看法

　　总体来说，数学新课标比以前的大纲是进步，对比以前大纲，知识点增加，难度降低。

　　优点：数学新课标按纵向划分，基本分为数与代数，图形与空间，统计与概率，实践和综合应用几块，系统性比以前的教学大纲增强，便于学有余力的孩子主动扩展，满足多样化的学习需求，便于因材施教，有利于数学思维的培养。

　　缺点：数学新课标重实践，轻推理，这本没有什么错，但是不适合中国国情，由于汉语言的特点，中国孩子综合能力强，思维速度快，记忆力强，但逻辑思维略差，而中国基础教育缺失一门逻辑课，数学学习中不把逻辑补上，使得孩子在逻辑上比西方国家孩子差距会加大。

　　2.中国小孩数学启蒙现状

　　由于汉语言思维速度快的优势，中国孩子算术能力和记忆能力较强，因为这个特点，鼓吹速算和死记硬背的商人很容易忽悠家长，毕竟容易出成果，但盲目速算和死记硬背容易损害孩子正常数学和逻辑思维。另外大多数家长盲目排斥奥数，不在孩子小的的时候注意数学思维的培养，到小学高年级迫不得已学习奥数的时候大感痛苦。

　　3.数学思维培养的一些想法

　　a.数学思维该何时培养？

　　我认为数学思维该在孩子接触1,2,3的时候就开始培养，从小就应该注意数形、数量和数序三个结合，不要让孩子的数感陷于空洞，数不能与现实生活割裂。

　　b.数学在小学课程的地位

　　我认为数学在小学主课中的地位仅次于语文，应该在英语之前。原因如下：

　　　1）我们目前的环境，学好英语的代价实在太大（个别家庭除外），事倍功半。孩子大点只要有意愿，基本上都能掌握好英语。

　　　2）数学思维培养在孩子小的时候进行事半功倍，孩子大了思维受限，再培养比较困难。

　　　3）对于没有英语环境的家庭创造英语环境代价太大，而数学思维的培养可以在生活中进行，低价较小。

　　c.对数学学习的一些想法

　　　1）奥数学习应尽早，越早越轻松，奥数应该是很快乐的，之所以不快乐是学习方法不对，奥数不是洪水猛兽，其中才真正蕴含着数学的本质。家长不会做奥数题很正常，毕竟成人的思维已经受限，不要因为家长不会就盲目认为奥数超过孩子的能力。

　　　2）家长也学会识别数学学习中的无用知识，这部分知识只为应试所用，对未来的生活工作毫无意义，不要浪费实践去强化。比如超强的心算能力（必要的心算能力还是有用的）等。

　　　3）初中应该加强平面几何证明的锻炼，也可以进行一些形式逻辑的锻炼，不过数理逻辑强的话，形式逻辑学起来比较简单，不能为了逻辑而逻辑，不能在生活中应用数学毫无意义，不能在生活应用的逻辑也毫无意义。.

　　提示：观看本文，后果自负。

　　本文为菜鸟根据自己大脑记忆和小学低年级段数学课本所写，未参考现行高年级以及中学课本，未经数学和教育专业人士审核，故菜鸟不保证文中引用的正确性，推理的正确性和结论的正确性，观看本文所引起的所有不良反映（包括但不限于头晕，呕吐，感冒发烧等），均后果自负，菜鸟不承担任何责任。

　　

　　孩子数学思维的培养，包括数形结合，数量结合以及数序结合，其中的数量结合将贯穿孩子学习的整个过程。菜鸟认为大学以前，孩子对量的理解分为4个阶段，巧合的是，这4个阶段恰好对应学校教育的大约3年时间。当然由于孩子的个体差异，数量思维的发展并不完全同步。有些孩子会有一定的超前，但最好不要滞后。

　　1.离散量阶段，对应小学三年级以前。这个阶段的前期尤为重要，孩子通过数数把整数和整量的关系结合起来，是一个从形象到抽象的过程，然而很多家长所做的事情却是不准孩子用手指，学速算，背公式，背19x19表等，非要把孩子的数和量割裂了才开心。学前的数量结合启蒙做得好，上学后会非常的轻松，小学低年级，基本都是整数量（也就是离散量）的计算，难度不是很大。

　　2.连续量阶段，四年级左右开始接触分数和小数，孩子对数的思维跳出离散数的框架，进入连续量阶段，分数的引入，有理数也就完备了，再引入开方和圆周率等无理数，连续量概念形成，直线数轴可以覆盖所有的连续数。常说：“四年级是一个坎”，从数学上来说，这个坎就是连续量的理解。

　　3.变量阶段，初一的函数，变量正式登上舞台，数轴变成了平面直角坐标，这个阶段因式分解是难点和重点。这个时候的直角坐标系中的量仍然是一维的，两个量组成坐标。

　　4.矢量和虚数阶段，矢量的引入是在高中的物理中静力学的力学分析，数量走出一维概念，走向平面和空间，配合着数量的空间化，几何也开始空间化。矢量概念只是直角坐标的延续，难度也不大。

　　这4个阶段的划分也不是很严格，实际上进入后一个阶段，对于前面阶段的理解会一直延续。.

　　免责提示：观看本文，后果自负。

　　本文为菜鸟个人观点，未经数学和教育专业人士审核，故菜鸟不保证文中引用的正确性，推理的正确性和结论的正确性，观看本文所引起的所有不良反映（包括但不限于头晕，呕吐，感冒发烧等），均后果自负，菜鸟不承担任何责任。



　　中小学数学的天王山是几何证明和因式分解，只要在初二左右迈过这两个山头，高考前的数理化都一马平川。

　　初中的时候，父亲曾对我说：“小学数学的难点是应用题，初中数学的难点是几何证明和因式分解。”当时对因式分解体会不深，那些分解方法（十字相乘，配方法等）我都掌握得非常好，没觉得难。到了后来，发现有些同学对二次函数掌握不了，才知道因式分解确实是难点和重点。几何求证上，在一个暑假里面父亲要求我把《许纯鲂初等几何四种》研究了个透彻（为什么不说是做题？因为实际上我一道题都没做完过，基本上是在选择题型，理出思路），刚开始的时候是心怀抵触的，后来才慢慢地体会到了推理的乐趣。

　　从孩子数学思维发展的角度来看，因式分解是数量结合达到变量思维的极致，几何证明是数形结合达到变量思维的极致。初中是学校教育中从常量到变量转换的分水岭，数学思维落后的孩子会在这里大幅掉队。

　　小学阶段的未知数使用还局限于方程这个万能钥匙，严格的来说，方程的未知数仍然是常量。谁先掌握变量思维，谁就在数学学习中掌握主动。从这个意义上来说，在小学阶段慢慢给孩子侵浸植入变量思维，是孩子中学阶段理科能够轻松学习的关键所在。.

　　免责提示：观看本文，后果自负。

　　本文为菜鸟个人观点，未经数学和教育专业人士审核，故菜鸟不保证文中引用的正确性，推理的正确性和结论的正确性，观看本文所引起的所有不良反映（包括但不限于头晕，呕吐，感冒发烧等），均后果自负，菜鸟不承担任何责任。

　　从前有一个很饿的人，吃了６个饼，还是饿，吃了第７个，饱了，他后悔的说：“早知道第７个饼能吃饱，就不吃前面６个了。”
　　很多家长从小不注意孩子数学思维的培养，到了四年级逼急了，出去学奥数，孩子不给力，大骂：“奥数难呀，奥数变态呀。”这就好象不吃前面６个饼直接吃第７个，反而说第７个饼不管用。
　　奥数学习，越早学越轻松，越愉快，越节约时间，为何？且听菜鸟慢慢道来。
　　首先，学校的数学是孩子学习的底限，而不是上限，如果把底限当成上限，孩子的数学学习就象一只被绑住翅膀的小鸟，飞不起来。只有跳出这个限制，才能发挥孩子的内驱力，使潜力充分的发掘。
　　其次，学校数学是循序渐进的学习方式，这样的方式不能说错，但是有一定的风险，循序渐进一环扣一环，一旦某一环出了问题，整个系统就面临崩溃。孩子的数学思维发展是螺旋形上升的，和数学发展史一样，其中必然有很多数学危机发生，数学危机以后，如果系统不崩溃则数学思维就会跳跃，一旦崩溃，要挽回就很困难了。举个例子，计算的学习在学校中是先加减，然后乘除，然后乘方等等这样一环一环下去的，但是很多孩子在背99表和4则运算这两环出问题，学校考试的压力很大，这样的重压下要解决数学危机是有一定难度的。如果换个思路，孩子在接触抽象运算的时候，直接同时接触加减乘除四则运算加乘方开方等，这样，链条就变成了一个整体，无处可断，了解高等级的运算可以帮助理解低等级的运算。即使孩子一时不能完全理解高等级运算，也无所谓，没有考试的压力，孩子可以从容的面对数学危机，而危机一旦解决，就是孩子数学思维跳跃之时。等到考试压力来临的时候，孩子的思维能力已经完全没有问题了。奥数的其他学习也是同理，所以奥数学习，越早学越轻松，越愉快，越节约时间，学得越晚越难，越危险。
　　那么，为什么有些人认为学得早的孩子累呢？那是他们对学习的理解方式不对，学一样东西，不一定在刚学的时候就掌握得那么完美，学过，不一定就得马上会，这就要用好学校考试这个工具，只要把握住学校的检验是底限，在考试的时候会就行了。坚持高标准，低要求，不考核，这样孩子的学习会越来越轻松，主动。.

9#
ccpaging 发表于 2011-5-17 10:39 |发短消息 |只看该作者
回复 #8 jiangying 的帖子

在数学史来说，欧几里得几何对希腊的几何成就进行了总结，在希腊乃至欧洲，人们相信，数学是打开自然之门的一把钥匙。最后，欧几里得催生了现在之所谓数学。
九章算术对中国的计算成就进行了总结，在中国，算术只不过是九艺之末。中国人用什么思想在探究自然呢？我不知道。

那么，试问，欧几里得几何有什么神奇之处呢？为什么它可以催生现在之数学呢？为什么九章算术却沦落到如此不堪的地步呢？同为数学之基础，差距咋就这么大呢？


点评回复 引用 评分 举报 返回顶部



10#
jiangying 发表于 2011-5-17 11:08 |发短消息 |只看该作者
ccpaging 发表于 2011-5-17 10:39
回复 #8 jiangying 的帖子

在数学史来说，欧几里得几何对希腊的几何成就进行了总结，在希腊乃至欧洲，人们相信，数学是打开自然之门的一把钥匙。最后，欧几里得催生了现在之所谓数学。
希帕索斯悖论，奠定了欧几里德几何的基础。芝诺悖论造就了亚里斯多德逻辑学的辉煌。
没有铁球悖论，就没有牛顿经典力学。缺少了双生子悖论，那还会有广义相对论。

科学是悖论推动，没有证实和证伪，就不会有科学的前行。

亚里士多德批判了芝诺的言论，确尊其为”辩证法“的创始人。而在我国“公孙龙”却是被人嘲笑的对象。到这里，答案至少已经有了一半了。


点评回复 引用 编辑 评分 返回顶部



11#
ccpaging 发表于 2011-5-17 11:54 |发短消息 |只看该作者
本帖最后由 ccpaging 于 2011-5-17 11:56 编辑


回复 #10 jiangying 的帖子

危机是数学发展的推动力之一，我认可。但这并不能解释，《九章算术》为何没有孕育出现代之数学。


点评回复 引用 评分 举报 返回顶部



12#
jiangying 发表于 2011-5-17 12:00 |发短消息 |只看该作者
回复 #11 ccpaging 的帖子

我说答案只出来一半。另一半需要你们这些数学科班出生的去研究。

我们这些二杆子就不凑热闹了。.

17#
ccpaging 发表于 2011-5-17 21:04 |发短消息 |只看该作者
几何之父——欧几里得
       欧几里得（希腊文：Ευκλειδης ，约公元前330年—前275年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。

        欧几里得生于雅典，当时雅典就是古希腊文明的中心。浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得，当他还是个十几岁的少年时，就迫不及待地想进入“柏拉图学园”学习。

        一天，一群年轻人来到位于雅典城郊外林荫中的“柏拉图学园”。只见学园的大门紧闭着，门口挂着一块木牌，上面写着：“不懂数学者，不得入内! ”这是当年柏拉图亲自立下的规矩，为的是让学生们知道他对数学的重视，然而这却把前来求教的年轻人给闹糊涂了。有人在想，正是因为我不懂数学，才要来这儿求教的呀，如果懂了，还来这儿做什么?正在人们面面相觑，不知是退、是进的时候，欧几里得从人群中走了出来，只见他整了整衣冠，看了看那块牌子，然后果断地推开了学园大门，头也没有回地走了进去。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
儿子的注释是欧几里得相信自己能学好数学，所以才自己走进去的。


点评回复 引用 评分 举报 返回顶部



18#
ccpaging 发表于 2011-5-17 21:08 |发短消息 |只看该作者
欧几里得几何与科学巨匠
　　少年时代的牛顿在剑桥大学附近的夜店里买了一本《几何原本》，开始他认为这本书的内容没有超出常识范围，因而并没有认真地去读它，而对笛卡儿的“坐标几何”很感兴趣而专心攻读。后来，牛顿于1664年4月在参加特列台奖学金考试的时候遭到落选，当时的考官巴罗博士对他说：“因为你的几何基础知识太贫乏，无论怎样用功也是不行的。”这席谈话对牛顿的震动很大。于是，牛顿又重新把《几何原本》从头到尾地反复进行了深入钻研，为以后的科学工作打下了坚实的数学基础。

　　近代物理学的科学巨星爱因斯坦也是精通几何学，并且应用几何学的思想方法，开创自己研究工作的一位科学家。爱因斯坦在回忆自己曾走过的道路时，特别提到在十二岁的时候“几何学的这种明晰性和可靠性给我留下了一种难以形容的印象”。后来，几何学的思想方法对他的研究工作确实有很大的启示。他多次提出在物理学研究工作中也应当在逻辑上从少数几个所谓公理的基本假定开始。在狭义相对论中，爱因斯坦就是运用这种思想方法，把整个理论建立在两条公理上：相对原理和光速不变原理。


点评回复 引用 评分 举报 返回顶部



19#
ccpaging 发表于 2011-5-17 21:21 |发短消息 |只看该作者
问题：
为什么几何在数学中占有如此重要的地位？为什么数学在一个人的学习中占有如此重要的地位？

搞清楚这些，我们才能明了，学习几何、学习数学，我们究竟要学什么以及怎么学。


点评回复 引用 评分 举报 返回顶部



20#
jiangying 发表于 2011-5-17 21:51 |发短消息 |只看该作者
回复 #19 ccpaging 的帖子

这个问题，我引用两位科学家的话当作回答吧。
费曼的教学思想：
我讲授的主要目的不是为你们参加考试做准备，甚至不是为你服务于工业或军事做准备，我最喜欢做的是给出对于这个奇妙世界的一些欣赏，以及物理学家看待这个世界的方式，我相信这是现今时代里真正文化的主要一部分。也许你们将不仅对这种文化有欣赏,甚至也可能你们会加入到人类已经开始的这场伟大的探险中去.
彭加勒：“科学家并不是因为大自然有用才去研究它，他研究大自然是因为他感到乐趣，而他对大自然感到乐趣是因为它的美丽，如果大自然不美，那就不值得认识，如果大自然不值得认识，就不值得活下去。”

本坛有个帖子，写的是垂心的美。除了垂心，质心，内心同样美。
除了三角形，圆形一样的美。
当孩子能够体会数学的美，学习的目的还用得着说吗？


点评回复 引用 编辑 评分 返回顶部



21#
不不园 发表于 2011-5-17 22:20 |发短消息 |只看该作者
jiangying 发表于 2011-5-16 20:23
回复 #5 jiangying 的帖子

奥数越早学越轻松(2010-12-30 23:14:49)
孩子在接触抽象运算的时候，直接同时接触加减乘除四则运算加乘方开方等，这样，链条就变成了一个整体，无处可断

这段话说得有点意思。请教具体怎么操作？

点评jiangying  一起学，但是不考核，考核的事情留给学校  发表于 2011-5-17 22:51  

点评回复 引用 评分 举报 返回顶部



22#
不不园 发表于 2011-5-17 22:22 |发短消息 |只看该作者
jiangying 发表于 2011-5-17 21:51
回复 #19 ccpaging 的帖子

这个问题，我引用两位科学家的话当作回答吧。除了三角形，圆形一样的美。
当孩子能够体会数学的美，学习的目的还用得着说吗？

对任何科目的学习来说，这都是最理想的状态。



点评回复 引用 评分 举报 返回顶部



23#
ccpaging 发表于 2011-5-17 22:41 |发短消息 |只看该作者
回复 #20 jiangying 的帖子

让孩子体验数学之美，并没有体现在您的前几个帖子中啊？

点评jiangying  不是说了，是不完全感想嘛  发表于 2011-5-17 22:45.

　　我一直认为，孩子的学习——尤其是理科学习——应该坚持“非系统适度超前”。今天有人问：孩子问的问题自己不懂怎么办。当时我没回答出来，后来我在弟子规中找到答案“宽为限，紧用功，工夫到，滞塞通。心有疑，随札记，就人问，求确义。”

　　首先，学习方法既然是非系统适度超前，既然非系统，就不必一步一步的来，而且是超前学习，就不是最后的底限，不懂就不懂，继续努力学习其他的东西，功夫到了就懂了，

　　其次，有问题，要先记下来，遇到懂的人可以问。不过要注意的是，这个记下来，不仅仅是记问题，而且要记为了解决这个问题的思路和所做出的努力，这样当有人讲解的时候，一听就懂。而且能够举一反三。

　　所以当孩子问的问题，我们也不懂的时候，我们应该怎么做：
　　1.问孩子有什么思路，做过什么尝试。
　　2.要求孩子把思路和尝试写出来。
　　3.要求孩子以后问问题的时候，不能光问问题，必须主动的把做过的努力汇报出来。

　　长期坚持这样做，孩子的理科学习能力应该会有很大提高吧。


点评.

今天非常郁闷，一个朋友问我：“洋洋爸，遵照你的教导，我喊ＸＸ拿个1——100的数字表天天读数字，然后倒着读。他很反感。但我也想不出别的办法。因为这个本来就是该早就读熟练的了。是我以前在教他数数的时候抓紧练习。现在喊他读他可能觉得没有意义，又没有新意，所以很反感。我也说不清楚要叫他达到啥子目的，我本来数学就很瘟。而且现在我拿个啥子东西喊他数，估计他要说我幼稚（这段时间这个话是他的口头禅）。今天我喊他倒着从100数，他居然和我对着干，数的100、99、89、79……，他说是数字本上那样写的，他倒着念的，说我自己表达不清楚。我一着急更是没有办法。”  吓我一跳，我什么时候“教导”别人要数“数字”了，我说的是“数数”好不好。数要和量,和序,和行结合起来才有意义，把数字割裂开来搞有啥子意义？

这边还没完，另一边又有人找什么19X19乘法表的电子书。真不知道是怎么了，拜托现在是信息社会，信息很多的，没有必要让这些无用的知识占据孩子有限的大脑内存。对于乘法来说，99表已经足够覆盖所有的计算，在没有计算器的情况下，心算和笔算就是算法优化的问题。19X19乘法表比99表在量上大了超过3.4倍左右，算上难度差距，差距就更大了。为了一点虚无缥缈的以后计算快，花费大量的时间和大脑内存，值吗？

记得读大学的时候，为了把一个1.44M的软盘用好，我们是想尽办法，找软件格式化成1.56M，清理碎片和压缩文件。当时的软件工程师对尽量地节约资，优化算法。随着电子技术的发展，软件工程师们开始挥霍硬件进步带来的大容量存储空间，可是对于依旧紧张的I/O口，寄存器，依然是非常节约的。

人类的进化应该是赶不上摩尔定律的，毕竟我们对于我们自身都没搞清楚，现在的孩子比我们聪明，但和我们小时比较起来，远远比不上100G移动硬盘对比1.44M高密软盘。我们可以挥霍存储空间，那是科技进步带来的便利，可是进化的程度能让我们挥霍孩子的大脑吗？有多少童年可以重来，有多少大脑可以挥霍。

科技的发展，让我们拥有更多的存储空间，我们使用电脑，都知道把数据放在电脑意外，孩子的大脑，也可以把某些数据的存储外包给科技，只保留必须的和有趣的数据，优化的算法和对人生的感悟。.

　　今天受了点刺激，写了篇文章，http://blog.sina.com.cn/s/blog_49926d310100jtjp.html把孩子的大脑比喻成电脑的存储设备。这个比喻说起来不是很恰当，但是也实在找不到合适的比喻。

　　记得当年为了节约存储空间，大家都是arj高手，小小的磁盘玩起来特有意思，现在不必要这么节约了，各种大容量的移动存储设备随处可见，压缩软件也不在是dos下的arj，而是高级RAR和ZIP。

　　压缩软件的作用是把冗余的信息尽量的减小，节约存储空间。孩子的大脑也需要有压缩软件帮他节约空间，这个压缩软件就是孩子的思维能力，这个压缩软件的作用可比电脑的作用大多了。多背冗余的信息，不仅浪费了孩子的大脑存储空间，而且也削弱了孩子的思维能力。

　　对于乘法，有四种表格小九九，大九九，小十九乘十九，大十九乘十九，小九九有45条信息，大九九有81条信息，小十九乘十九有190条信息，大十九乘十九有361条信息。从信息量来说十九乘十九是九九的4倍多，难度也大得多，毕竟九九表中和一相关的基本不占用存储空间，综合来说，背十九乘十九的难度在背九九的难度的十倍以上。如果孩子的数感不强，背这样的天书的难度可想而知。

　　十进制数的基础就是0-9十个数字，十进制的乘除法的基本元素也就是九九表中的计算式，只要记得（不是背，多用自然就能记得）九九表，十进制的乘除法计算也就完全能够计算了，如果在掌握一些巧算的方法，计算速度也不会太差。十九乘十九表中超过十的计算反而没多大用处，它们根本就是不是乘法和除法计算的基本元素，在实际计算中应用并不广泛。背十九乘十九表多花了不少劲，取得的效果却很少，完全是无用知识。

　　对于小九九和大九九，我倾向记小九九，乘法交换律就是大九九到小九九的压缩软件，直接使用大九九，表面上看要简单些，实际上孩子对交换律的理解必然受到影响。

　　当然我的意思也不是不能背大九九和十九乘十九，背的前提是相应的思维能力已经具备，否则有害无益。.

30#
sour 发表于 2011-6-14 17:02 |发短消息 |只看该作者
洋爸你是怎么在幼儿园教的呢？


点评回复 引用 评分 举报 返回顶部




点评回复 引用 评分 举报 返回顶部



32#
jiangying 发表于 2011-6-14 20:29 |发短消息 |只看该作者
sour 发表于 2011-6-14 17:02
洋爸你是怎么在幼儿园教的呢？
如果我回答说我不知道，007又要批评我了。

不过按我往常的回答法：我没教。大家认为我在忽悠了。
孩子从很小的时候就开始数数，数一切可以数的东西。到了4岁左右，4则运算的概念基本上都会了。他外公拿个算盘给他玩，学会了算盘。这时候我们干了一件蠢事，送他去学珠心算。刚开始他兴趣很大，到后来拒绝做作业，哭闹着不去，我们和老师商量放慢进度。到后来，我终于明白数学不该这么学，即时地停了。理科的学习还是得遵循科学的规律。

基本上来说，孩子知道的东西，应该是两个来源
1. 自己看书
2. 追问。 常常发生的事情是我在回答他问题的时候，他会找到其中的关键点穷追猛打，拔出萝卜带出泥问出一堆乱七八糟的东西。他乐此不疲。而这些对话我只记录了少量，所以很多时候孩子知道什么？是否知其然也知其所以然？我都是不知道的

点评sour  @jiangying 我也这样认为，只是比较一下年纪，呵呵  发表于 2011-6-15 10:19  回复   
jiangying  @sour 我认为是非常正常的事情  发表于 2011-6-15 10:18
sour  @jiangying 就是这个已经点过了他会忘记掉，在点一次，或者会少点一个  发表于 2011-6-15 10:15  回复   
sour  @jiangying 不是联系不起来，是会多点一个  发表于 2011-6-15 10:13  回复   
jiangying  @sour 忘了，乱数是一个阶段，嘴上说的和手上动的，联系不起来，后来就好了  发表于 2011-6-15 10:10
sour  @jiangying 多小的时候可以数的清楚，我儿子现在就是乱数，不是少点一个就是多点一个  发表于 2011-6-15 10:01  回复   
jiangying  @aochuanhui 往事不堪回首  发表于 2011-6-15 09:53
aochuanhui  哈哈原来你们也学过珠心算  发表于 2011-6-14 21:55  回复.

　　99同学在一本美国6－8年级的数学竞赛书上看到一道题：“列昂有4元5分钱，都是10分和25分的硬币。如果她的25分硬币比10分硬币多5个，问她每种硬币各有多少种？”题很简单，解法也有多种，菜鸟在这里也不想讨论这道题的解法。
　　在书中，本题是做为“猜”这个方法的例题出现的，首先试有5个10分硬币，则：5*0.1+10*0.25=3.00，接着猜7个10分硬币，最后来8个10分硬币。也许中国很多聪明儿的家长显然要说，老美太笨了，这么简单一道题，还是针对6-8年级的，居然还有这样的笨方法。
　　诚然，老美的这个方法确实笨了点，然而确实逻辑清晰的一种解法，更为重要的是，其中体现了一个数的变化的过程和影响。美国低年级的数学教材就已经开始在体现这样的一个思路，变化及其影响占有相当大的比重。国内的新教材也有这样的思路，但是在实际的操作中仍然不得不为死记硬背的机械算法让位。于是我们一代一代重复这样的杯具：背公式做题应试，长大了，全忘了。自己孩子学习的时候，面对那些自己曾经做得溜熟的题高喊：“现在的孩子咋个做这么难的题哦。”

点评ccpaging  记得的原来那些公式的才麻烦，因为他们已经忘记了如何获得公式的，似乎只有灌输、强制和重复、、、于是，教育的失败，咆哮，接踵而至  发表于 2011-6-16 22:50  回复   
ccpaging  忘了的BBMM还好，因为无知会有敬畏，反而可能使他们降低身形。  发表于 2011-6-16 22:49  回复.

35#
ccpaging 发表于 2011-6-17 14:40 |发短消息 |只看该作者
本帖最后由 ccpaging 于 2011-6-17 14:41 编辑

aochuanhui 发表于 2011-6-17 12:27
回复 #33 jiangying 的帖子

这道硬币题本质上就是鸡兔同笼问题, 这可是中国1年级奥数题, 中美小学生的数学差距咋就这么大呢?
所谓的差距，要看站在什么立场。例如，站在会做这道题的立场上看，那么中国学生可能占优的。可是，会做这道题，对孩子的数学能力意味着什么呢？
如果是老师教的，依葫芦画瓢，那么这种会做，在数学上，其意义为零。如同战国时有鄙人以九九乘法表应聘于齐国，王曰，那有什么稀奇，齐国小儿就会背九九。
如果是学生通过自己的探究，学生之间相互的讨论，从不会做到会做，从会做到总结出数学的道理，那么，这种会做，在数学上的意义就很大了。
说到 Explore and discovery，中国妈妈觉得很难，几乎不相信同学有这样的能力。以俺观察，这确实很难，可能在小学生而言，只有少量有兴趣有能力的同学能做到这一点。窃以为，对于美国小学生也有同样的困难。大概也就是这个原因，美国学校把这道题放在6-8年级。

中国人放弃了 Explore and discovery，这样在考试中无疑占有优势，可以在小学学到美国6-8年级的知识，那么真正到了6-8年级又干吗呢？继续学习8-12年级的知识，到了8－12年级，继续学习大学的数学知识。大学的数学知识已经不是每个同学都可以掌握的了，学起来很难，令人沮丧，令人信心全无，可是，大部分的同学在以后的生活和工作中根本用不到大学的数学知识。艰难地学，学到恶心，还学了些没用的知识，这不是吃饱了撑的吗？

为什么会出现这么愚蠢的教育行为呢？.

本帖最后由 jiangying 于 2011-7-16 23:22 编辑


菜鸟按:这是菜鸟视野系列中第一篇转载。之所以转这篇文章，不是全盘赞成其中的观点，其实关于其中应试的方法论，菜鸟还是大大地反对的。但是本文关于基础部分的说法，写得相当不错，菜鸟就是这么想的，但是写不出这个水平来。
菜鸟从来不认为学习理科是循序渐进,由简至繁的。科学本来就是在化复杂为简单，这个观点不改过来，理科要学好的可能性不大。


如果数学是你的弱项

一般来说，老师会这么想，“这个地方之所以不明白，是因为前面的某个地方没有搞清楚，只有返回去再学习一下前面的内容。”与其说这是“在山脚处训练”，不如说是“从山顶返回山脚的训练”。

   如果我是家庭教师，我决不会这么做。我会暂时不管不懂的地方，只针对眼前的难题，认真地为学生讲解教科书上的例题，而且反复地讲解，让他记住。也就是说，遇到难题时就来一个空降。教科书上的例题并不太多，所以应该不会耗费太多的时间。即使学生基础不好，如果能够巧妙地教给他解题的关键，相信也能解出来。
  这种学习方法可能和一般的观点背道而弛。只要阅读一下关于数学学习的书籍，就会发现几乎所有的书上都写着“基础很重要，首先要打好基础”。他们所推崇的学习法是“一个阶段一个阶段地前进，只有完全理解了这个阶段的内容，才能继续向下一个阶段迈进”。

  但是，在理解某个体系的时候，首先把握住整体才比较有效率。

◆基础知识很无聊

“打好坚实的基础”的学习方法最大的缺点是太枯燥，学生对学习提不起兴趣。这与在登山时只在低处徘徊是一样的道理，人们只会觉得疲惫不堪，根本看不到美丽的植物，也咱吸不到新鲜的空气。

第二个缺点是不知道自己正在学习的内容在整体上究竟处于什么位置。这是因为不懂鸟瞰法。部队行军时，如果士兵不知道目的地是哪里，就容易感到疲劳。相反，如果知道了目的地，他们就可以估计一下目前距离目的地有多远，就算是行军强度很大，士兵也不会感到疲劳。的确，只要知道了目的地，人就不容易疲惫。学习也是一样道理。如果能预先将教科书从头到尾看一遍，就能把握应学习的内容的全貌。这与只要知道了行军的目的地，就相当于掌握了通往目的地的地图是一样的。

不知道目标只是不断地重复基础知识，只会让你越来越疲劳，很多人对数学不感兴趣的原因正在于此。

◆基础知识很难

“从基础开始一步一步前进”的想法还有一个问题，就是想要真正理解基础知识很难。

比如，“数”的定义就很难，给0 1下一个定义是非常困难的。“直线”、“平行”这种概念也是一样。我们对于这些“基础概念”的掌握还停留在模糊的阶段时，就开妈学习如何运用它们了。很多工具都是在实际应用之后才能了解它的功能。数学也是这样。很多情况下只有通过使用才能了解概念和定理的含义。

另外，所谓回到“基础”究竟要回到哪里才合理呢？这里有一个程度问题。即使是数学专家，也不可能返咽到真正的基础部分去进行理解。特别是工学、经济学更是如此。

也就是说，先不用了解其中的道理，暂时把它搁在一边，只要记住它的使用方法，继续向前进就可以了。

“一遇到挫折就不能继续前进了”，这根本就不是数学这门学科的问题，而是人的心理问题。赤教授认为那只是单纯的自卑感在作崇，我个人也赞成这个观点。

日本的高中老师中森也认为：“不要从基础开始，从是从中间开始。”他还提出了一些忠告：“数学基础很差的人一般都会认为应该先理解基础，但这简直就是在等待‘百年河清’。没有比基础更难的东西了。。。。从基础着手的话，看上几页就觉得无聊，然后就放弃，这是数学不好的人的共同毛病。必须要集中精力学好现在正在学习的内容----只要真正理解了现在的内容，以前学习时不明白的地方会在不知不觉中想明白了。”

◆应试数学只能采用背诵法

“应试数学只能背诵。”我在上大学数学课时S教授曾经这么说，“别说创造力了，连分析能力都不需要。只要记往题型往里套就行了。”当时的S教授现在已经是举世闻名的大学者了，所以最好还是相信他的话（这只是针对应试数学的学习方法。他后来可能还说过“真正的数学不能背诵”或者“真正的数学也应该背诵”，但这么关键的东西我偏偏给忘了）。另外，我的朋友东京工业大学的今野浩也教授也说过同样的话。

实际上，我在参加高考时没有意识到这一点。当时我相信数学要靠自己去思考，所以当我从尊敬的大学者口中听到“背诵法”时，简直有一种上当受骗的感觉。

但是，至少对于应试数学来说，也许直的可以采用背诵法。实际生活中，一些上补习班的小学生解答复杂数学题的能力简直太令人吃惊了。但是，这并不意味着他们的头脑有多聪明。这些孩子只不过记住了题型以及每个题型的解法而己。想要凭借自己的力量解答中考的数学蛳则非常困难的。一些题目即使是以数学为专业的人在规定时间内也有可能解答不出来。由此看来，数学的确是可以背诵的科目。

仔细想想，学校的数学学习并不要求大家创造出什么新的理论，只要理解很久以前的大数学家所创造出的体系就行了。考试只不过是检测一下是否掌握了这个体系，而且还有固定的范围。当然，这需要在规定时间内解答出来（这是非常重要的条件。那些制定体系的大数学家当时可不是用一两个小时解出来的）。“只要记往题型以及解法就可以了”，这种想法也许是正确的（实际上，学者在研究时也会出现类似的情况。现在的学者很少写独创性的论文，而是从现在研究的课题着眼，对前的人做法进行改良。这样做至少从出发点来说比较有效率）。

厌恶数学的人可能认为数学是一门需要创造力的高级学科。属于学术层次的数学另当别论，作为应试科目的数学根本就不是什么高级学科。我们应该将数学家的数学跟应试数学分开考虑。这样一来，读死书的学习也能学会数学了（如果头脑不好，学不好的科目应该是语文才对）。

要点  对于数学来说，与其自己去想，不如直接将解题方法背下来。

◆加强计算能力

计算能力在应试数学中非常重要。虽然懂得解法，但是计算错误的话，也不会得分。相反，只要有了计算能力，就算没有掌握简便的解法，也可以尽力解开。

要想培养计算力，就只能重复练习，必须将其作为每天必做的功课。计算也需要感觉。当算式比较复杂时，将注意力放在哪个变数上、将哪几项合起来会使算式变得简单，这都需要感觉。如果不经常练习，这种感觉就会迟钝。这和长时间不用英语，就会忘掉单词一样。.

本帖最后由 ccpaging 于 2011-7-21 01:37 编辑


回复 #36 jiangying 的帖子

在讨论教育问题时，我原来不知道，喜欢津津乐道自己的方法，结果得到的反响总是出乎意料。不是说我讲的好与不好，而是我忽略了那些最重要的差异，如教育的环境、学生的情况、家长的情况。

假设，一个孩子处于美国教育的大背景，学校强调创造力，而这个孩子又偏偏缺少创造力，少到学起来吃力的程度。当然，如果假设不存在未经确认的遗传因素，这通常都是跟他小时候的成长环境有关。如果恰恰是父母带大的，可能这也就意味着父母也是缺少创造力的，或者不知道如何培养创造力。在这样的情况下，窃以为，采用一些机械的训练，以掌握基本的数学技能为目的，是可以接受的。

并不否认，楼上这篇文章中提到的，背解题过程可以学会数学。但如果不问情形地强行使用这种方法，对于有创造力的孩子来说，那就是毁了他。事实上，由于国内把残酷的竞争引入小学，在压力之下，大家很难淡定地让孩子慢慢生长一段时间，以便发现孩子的兴趣和能力，而更倾向于采用文中所提到的这种背解题的方法。这种方法也许适合80％的孩子，但这种统计对某个孩子和他的爸爸妈妈来说，毫无意义。因为对他们来说，这个孩子就是100％。

前面说到基础知识是不是要一步步前进的问题，窃以为，为师者，其对待某一阶段的知识一定要以更高的观点。例如，教小学一年级的学生，应以小学1-6年级的整体去观察，而不是局限于当前。而教5－6年级的小学生，则要以小学5年级－初中为整体进行考虑。

说个闲话。为何现在的6年级被改成预初在初中上课而不是小学？猜测是因为初中的数学知识下放，以小学老师的能力难以把握，而不得不为之。

觉得基础知识无聊，这不是知识本身和孩子的问题，可能是老师和教材的问题，甚至可能是评价方式的问题。例如，在亲子数学社里边，我们曾经花了大量的时间去研究，什么是进制，什么是面积，什么是速度，什么是分数，大家的兴致很高，效果也很好。


点评jiangying  在老师哪里，是一个系统性的问题  发表于 2011-7-22 09:44
jiangying  至于6年级在初中上课，只有上海这么干，不过是试点而已。我们一年级时候的数学老师教过高中和初中，我很喜欢，却不被其他家长和待见，问题不仅  发表于 2011-7-22 09:44
jiangying  共设和5个公理以及一大堆定义来做为基础。离开了这些无法弄懂所以然的基础，欧式几何也无法存在  发表于 2011-7-22 09:40
jiangying  关于背题，我也是反对的，转载前也做了说明。关于基础，我坚持认为基础的夯实应该在不自觉中进行的，不必刻意强化。即使是欧几里德也得搞5个  发表于 2011-7-22 09:39  

点评回复 引用 评分 举报 返回顶部



38#
ccpaging 发表于 2011-7-22 11:52 |发短消息 |只看该作者
回复 #36 jiangying 的帖子

关于数学体系的问题，爸爸妈妈其实不用太担心。我同意这种说法，BBMM不要刻意地追求体系的完整和顺序。不是搞数学教学的，非要按照体系的完整和顺序，反而会混乱。不知为不知，是知也。索性，承认这个局限，承认不能为，顺兴而为，顺性而为，以一种自然的心态，想到什么就说什么，孩子能听懂什么就讲什么，孩子想听什么就讲什么。

其实，数学体系自有的完备性自洽性，始终都会发生作用，不会产生真正的混乱。当然，前提条件是BBMM所讲述的这些知识应是正确的。

点评jiangying  同意，不过补充一点，孩子听不懂的也可以讲，但不必强制他听了就必须懂  发表于 2011-7-22 12:35
ccpaging  再加个条件：不要强制。  发表于 2011-7-22 11:55  回复.

朋友的孩子上某奥数暑期班。
据说老师评价孩子：“用数学的方法解奥数题。”当然这是个不好的评价。

菜鸟彻底晕菜，虽然从语法上来说，这样的说法无懈可击，但是菜鸟怎么都觉得这是个病句。什么叫数学的方法，什么叫奥数的方法？菜鸟百思不得其解。当美国的孩子初中还在凑数的时候，咱们的孩子2年级就在被灌输公式。

回到那句话：“关键在于怎么学，而不是学什么。”
当错误的方法占据奥数补习班的主流的时候，奥数不得不成为一个替罪羊。

在南辕北辙的道路上，我们小时候坐的是马车，现在的孩子坐的是动车。.

本帖最后由 ccpaging 于 2011-7-29 16:31 编辑


回复 #39 jiangying 的帖子

回到那句话：“关键在于怎么学，而不是学什么。”
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
“学什么”指的是知识，在这一点上，数学知识可以说包含了奥数。但说到数学，内容不限于知识，还包括数学的素质、数学的思想、数学的方法等。

按照灌输的方式去教授数学知识，极端地，如让童鞋背记公式、不求甚解，也许数学的知识可以这种方式传授和接受，但是在数学素质和思想上，其效果却是完全相反的。换句话说，某个童鞋，公式背的很遛，习题做的很熟练，考试成绩很好，却可能完全没有独立的思想、质疑的精神。这不是这个童鞋当不当科学家的问题，而是能否做公民还是只能当奴隶的问题。

学数学知识不能跟培养数学素质划等号，考虑“怎么学”才是真正关注数学素质、数学的思想和数学的方法。



点评回复 引用 评分 举报 返回顶部



41#
jiangying 发表于 2011-7-30 19:08 |发短消息 |只看该作者
回复 #40 ccpaging 的帖子

“学什么”指的是知识，在这一点上，数学知识可以说包含了奥数。但说到数学，内容不限于知识，还包括数学的素质、数学的思想、数学的方法等。

按照灌输的方式去教授数学知识，极端地，如让童鞋背记公式、不求甚解，也许数学的知识可以这种方式传授和接受，但是在数学素质和思想上，其效果却是完全相反的。换句话说，某个童鞋，公式背的很遛，习题做的很熟练，考试成绩很好，却可能完全没有独立的思想、质疑的精神。这不是这个童鞋当不当科学家的问题，而是能否做公民还是只能当奴隶的问题。

学数学知识不能跟培养数学素质划等号，考虑“怎么学”才是真正关注数学素质、数学的思想和数学的方法。
________________________________________
这是这样的。

不过我认为，相对学校那点可怜的数学知识，奥数如果用得好，更能领会数学的思想。可惜。。。。。。。

前几天在地球仪上我指着希腊和意大利对孩子说：“这是古希腊的地盘，是科学的发源地。”
孩子指着那三大文明古国：“毕达哥拉斯去过这三个地方，为啥他不到中国来呢。”
“因为中国太远了。”


点评回复 引用 编辑 评分 返回顶部



42#
ccpaging 发表于 2011-7-30 21:48 |发短消息 |只看该作者
回复 #41 jiangying 的帖子

作为课堂教学，因为是普及教育的一部分，其真正的目的是具备基本的数学素质，基本的数学思想，基本的数学方法。这些素质、思想、方法是每个人都能具备且应该具备的。例如，质疑，逻辑等。即便有些孩子将来去当作家、记者，他们也需要这些。

数学知识，在这个教育过程中，个人以为，仅仅是个载体。在20以内整数可以研究的数学问题，没有必要故意用20-100以内数，或者小数。

另外，现在数学教育，还有一个问题，就是数学知识太多。未来的作家和记者，不需要这么多数学知识，他们也不感兴趣。强迫他们学并以此考核，会给他们造成伤害。

当然，个人对数学有兴趣，愿意去学，那又是另外一回事。有兴趣，当然就会吃不饱，没关系啊，自己去加餐好啦。但不能因某些人喜欢吃胡罗卜，就让所有的同学都吃大量的胡罗卜。

所以，普及教育中数学只要提供每个童鞋都能吃下去且满足他们身体所需的胡罗卜，就可以了。对于喜欢吃胡罗卜的，也不禁止他们多吃些。


点评回复 引用 评分 举报 返回顶部



43#
jiangying 发表于 2011-7-30 23:47 |发短消息 |只看该作者
本帖最后由 jiangying 于 2011-7-30 23:52 编辑


回复 #42 ccpaging 的帖子

关于普及教育，我和你观点不同
不错，目的是“具备基本的数学素质，基本的数学思想，基本的数学方法。这些素质、思想、方法是每个人都能具备且应该具备的。”

但是这是最低目的，学习需要冗余的，举例说明，考试的及格标准是60分，如果一共学习5个知识点A,B,C,D,E，那么只要完全掌握3个就能达标，可以是ABC,BCD,ACD等等，也可以5个都掌握一部分，有些全掌握，有些掌握一部分，等等。。有各种各样的达标方式

但是，如果学的东西是最最基本的，学了，就得完全掌握，那么这是没有冗余的学习。对能力强的孩子，是降低能力，能力弱的孩子也不可能完全掌握。最终的结果是能力强和能力弱的孩子都没达到最佳状态。

学习过，比一定就要会。学的要求多一些，学会的要求低一点，窃以为这才是最理想的学习方式。当一次考试，最差的孩子在60左右，分数在60－100成正态分步，这样学习和考试才是我理想中应试教育（以应试为手段的教育），可惜这在现实社会是不可能的。

课本难度减负10多年了，最终的结果是奥数横行，外因就是课本太简单了。人人都是99，100，这样的考试是无效的，这样的学习是低效的。

当然根源还是太功利。这个不想多说了。

想想布鲁诺和伽利略。
布鲁诺被活活烧死，伽利略在认罪后跺跺脚：“可是地球仍然在转动呀。”
对于奥数，抵触就是布鲁诺，顺从就是宗教裁判所的帮凶。只有找到“怎么学”的奥秘，才能成为伽利略。

学什么不重要，管他是奥数还是学校数学。
怎么学才是最关键的。

我们在学什么上争论意义并不大。



点评回复 引用 编辑 评分 返回顶部



44#
ccpaging 发表于 2011-7-31 13:02 |发短消息 |只看该作者
回复 #43 jiangying 的帖子

要以考试来衡量，我以为，前面都是白搞，太过复杂。为了提高成绩，方法就太多了。

1、跟出题的老师搞好关系。他老先生一句话，顶下面老师十节课。
2、跟区里出题的老师搞好关系。他老先生一句话，学校就受益无穷。
3、把差生安排在成绩好的学生边上参加考试。
4、多练习，题海战术。

俺不是老师，是个外行。相信教育工作者们有更好的办法。


点评回复 引用 评分 举报 返回顶部



45#
jiangying 发表于 2011-8-1 23:25 |发短消息 |只看该作者
回复 #44 ccpaging 的帖子

我不是想讨论考试问题，只是用分数量化比喻而已。

我想表达的意思，是要达到最低限，孩子需要接触150%的知识和思想，而不是在底限以下低水平重复。

不过这个问题在现实社会，靠学校无解。还得家长上。

学什么的问题不想再谈下去，这个是次要问题。.

　　近日囫囵读完克莱因名作《西方文化中的数学》，受益匪浅。克莱因以独特的视角，以数学的发展为脉络，描述了数学对文化及科学的影响。在数学发展的各个阶段，不仅在物理科学中起到核心作用，还决定了大部分哲学思想的能容和研究方法，摧毁和构建了诸多宗教教义，塑造了各种艺术流派。本书与其说是一本数学史书，不如说是一本讲述数学进化的数学文化书。本人试图从书中总结出数学进化的线路。（注：此下为菜鸟根据书中描写所做的自我总结，不是本书的书摘和概要）

　　第一次进化：演绎体系的建立。古希腊前的数学，处于归纳阶段，无论是古埃及人还是古巴比伦人，都具备很强的数学实用能力，但是却没有形成真正的数学。泰勒斯，毕达哥拉斯以及柏拉图等古希腊的智者创造的毕达哥拉斯－柏拉图体系成为数学的起源。第一次数学危机以后，欧几里德的《几何原本》成为演绎体系的集大成之作，数学精神由此诞生。

　　第二次进化：机械观的兴起。古希腊后的几百年，是停滞时期，直到文艺复兴事情，数学精神也从此复兴。笛卡尔的方法论成为应用数学最坚实的工具。哥白尼的日心说打开了科学新的大门，伽利略和牛顿提出牛顿经典物理学，机械观由此兴起，这是数学的第二次进化，是物理学的的一次进化。

　　第三次进化：从决定论到概率论。正如拉普拉斯所说：一门开始于研究赌博机会的科学，居然成了人类知识中最重要的学科，这无疑是令人惊讶的事情。概率论诞生后，数学变得不确定起来。加上对无穷悖论的研究的结果——集合论。相对论和量子理论也就有了数学基础。

　　巧合的是，这三次数学的进化过程中，都伴随一次数学危机。虽然不能说是危机导致的进化，但无可否认的是，每一次危机实际都是一次思想的大解放，科学的发展本来就是悖论推动的。.

在007的“反对刻苦学习贴”中讨论过黄金分割。窃以为，第二次数学危机之前，斐波拉契和达芬奇应该被关注。尤其是达芬奇，把黄金数与人体结构、建筑美学联系在一起，大大地拓展了数学的视野。自此，数学不再只是术，不再只是上流社会的玩物，而成为了打开自然之门的一把钥匙。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2011-8-24 17:40 编辑 ].

　　最近两个孩子的两个问题引起了我的思考，该怎样利用孩子提出的问题来保持孩子对世界探索的兴趣？是仅仅解答他们的疑惑，还是站在更高处以激发他们的求知欲望？
　　第一个孩子问：“为什么隧道上面的灯距离是一样远的，在远处看起来却越来越近？”回答这个问题，说简单也简单，说难也难。如果简单的回答：因为在远处所以看起来近。可是这个不正是孩子的问题吗？这样的回答等于没回答。那么要真正地去回答，就得画图，探究。文艺复兴时期的画家和数学家们发现了这个问题，于是独立于欧式几何的透视几何诞生了，其中的代表就是那个画了无数个鸡蛋的“傻瓜”达芬奇（最近这个名字很火）。如果让孩子知道他思考的问题是世界上最聪明的人之一的达芬奇思考过的，会不会提高他的兴趣呢？
　　第二个是家长问的：如何跟孩子讲无穷大的问题。我相信无穷大的问题困扰过所有的孩子，当然也困扰过19世纪的数学天才高斯，他说：“我反对使用无穷量......这在数学中是绝对不允许的。”无穷的悖论导致集合论的产生，数学家康托尔解决了这个问题。即使是现在要让孩子理解无穷的概念是很困难的，那么面对孩子的问题我们的态度很重要。如果让孩子知道他思考的问题是世界上最天才的数学家之一的高斯奇思考过的，会不会提高他的兴趣呢？
　　这两个问题说起来还是好问题，实际上孩子还会有很多弱智问题。但是这些现在人觉得弱智的问题，恰恰是几百上千年钱人类的智者研究的问题。小的时候，听说伽利略的铁球实验，觉得亚里士多德简直就是个傻瓜，但是一直想不明白为什么一个傻瓜会成为权威，这个悖论困扰我很久，后来才明白，亚里士多德不是傻瓜，自己才是傻瓜。同样，当孩子提出弱智问题的时候，其实真正弱智的是家长。
　　当孩子提出问题的时候，最重要的不是去解答这个疑惑，而是告诉他一种思路和方法尝试去自己解决问题，同时让他知道能问出这样的问题是多么的能干，足以让父母自豪。.

对比例问题的研究是古典数学的一个亮点。中国人曾经利用影子计算地球与太阳的距离，显然这已经远远超出了人力的极限。可惜的是，因为他们不知道地球是圆的，算错了。
当我们接受这样的教育理念，即一个人的知识体系是可以被塑造的，那么，就很难看到一个人智力发展的过程和神奇之处。甚至，会怀疑这些孩子天生就缺乏创造与激情。
为什么人类的数学发展是这样的历程而不是那样？如同十月怀胎为什么要历经腮裂，从无脊椎到有脊椎，最后再生长大脑、、、这是自然的力量。顺其自然，可能就是获得自然之神秘力量的最好选择。.

是的，孩子的成长实际就是人类历史的部分重现。了解历史是多么的重要。.

　　有一种书，读完以后，过了很长的时间，除了书的名字，内容全部都忘了，但是仍然觉得这本书对自己产生了很大的影响。《物理学的进化》就是这样一本书。二十多年过去了，书中写的啥全部忘完了，但总有一种买来再读的冲动。终于它再版了，再次阅读，理解了这书为啥会有的魔力。

　　爱因斯坦和英费尔徳用简洁的问题勾划了物理学进化的各个关键点，即使没有很深数学和物理知识的人都能读懂。在书的开篇，作者提到：“我们设想有一个完美的侦探故事。这个故事告诉我们所有重要的线索，这样使我们不能不提出自己对事件真相的见解。如果我们仔细研究故事的构思，不等作者在书的结尾作出交代，我们就早已得到完满的解答了。只要不是低劣的侦探故事，这个解答不会使我们落空，不但如此，它会在我们期待它的一刹那就立刻出现。” “这个奥妙的侦探故事，至今还没有做出解答。”“科学家读自然之书必须由他自己来寻找答案。”作者也提到这样的比喻不是很确切，在书的的后面会进行修正。但是如果把对未知的探求用推理的方法来分析各种线索，这不正是科学的方法吗？

　　我一直认为科学的发展是悖论推动的，这个想法是怎么来的，我已经忘记了，在书中我找到了答案：“科学上的重大进步几乎都是犹豫旧的理论遇到了危机，通过尽力寻找解决困难的方法儿产生的。”

　　在书的结尾，作者给出对科学的看法：“科学不是一本定律汇编，也不是一本把各种互不相关的论据集合在一起的总目录，它是用来自由地发明观念和概念的人类智力的创造物。”“自由地发明观念和概念”难道不是正确学习科学的方法吗？.

　　前段时间，上帝例子——疑似希格斯玻色子被发现，希格斯的名字上镜率颇高，而玻色似乎在大家的心目中和玻璃差不多。小文一篇，纪念下这位伟大的物理学家。

　　第一次听到玻色，是在高中，周末骑车穿半城到4中参加物理奥校，我们的物理老师偶尔也去。回家的时候就和这个当时学校唯一的特级教师有过很多对话。有一次，谈到神马核磁共振在医学上的应用，老师的嘴里蹦出了个词中间玻色子，说这个神马中间玻色子是神马弱力的神马介质。总而言之，我木有听懂，至少在当时，这个神马玻色和玻璃没多大区别。

　　要讲玻色的故事，先得讲讲爱因斯坦的故事。1900年爱因斯坦从苏黎世联邦理工学院毕业，苦逼的爱因斯坦这一年毕业生中唯一一个投了一大堆简历却依然没能找到学术工作的人。2年后，被瑞士伯尔尼专利局雇佣，同年长女Eduard出世，也许是因为没钱买奶粉，孩子在1903年夭折，同年和大学同学米列娃.玛丽克结婚。（这里有必要说一下，看来爱因斯坦的情商还是挺高的，一个工作的找不到的屌丝，能够搞定富二代美女，还在婚前产子，没点手腕是不行的。）在专利局的日子应该是比较清苦的，1904年，汉斯出世，爱因斯坦又操心奶粉钱了，申请2级专利员未果，只评上3级专利员（看起来相对于我们的初级职称）。1905年，爱因斯坦发表6篇论文，提出狭义相对性原理，开创物理学的新纪元。当年帅气的屌丝男，渐渐成长为长得很丑的高富帅。汉斯的奶粉问题终于解决了。10年后不缺奶粉钱的爱因斯坦夫妇又生了第3个孩子。

　　回到我们的主人公玻色，S·N·玻色〈Satyendra Nath Bose，1894-1974），1915年毕业于加尔各答大学物理系。学习期间，他成绩一直非常优秀，百分制的题目，老师常因为他独到的见解给他110分。毕业后，他来到现在属于孟加拉的城市达卡，在达卡大学任讲师。玻色平时带带课教教学生实验，闲暇之余在一个叫《哲学杂志》的烂刊物上发发论文灌灌水，1923年，他同样写了一篇《普朗克定律和光量子假说》寄给这家杂志，但是很快被拒，受到打击的屌丝玻色一怒之下写了一封信直接发给当时已经贵为高富帅（高于智商，富于才华，帅于行动）的爱因斯坦，很快这篇论文被翻译成德文，发表在了权威的德国《物理学期刊》上。之后，爱因斯坦把玻色统计方法推广到静止质量不为零、粒子数不变的系统上，建立了量子统计学中波色—爱因斯坦统计。

　　两年后，达卡大学物理系评选教授，屌丝玻色由于没有博士学位而不敢申请，于是又一次写信给爱因斯坦求教，爱因斯坦见信大惊，想起了早夭的Eduard和自己买不起奶粉钱的屌丝岁月，眼泪不禁流了下来。当年不为人识的千里马如今当了一次伯乐，爱因斯坦写了封信给达卡大学，玻色如愿当上教授。

　　1926年8月，严谨的物理学家狄拉克发表了一篇论文，完善了量子统计的费米——狄拉克理论，把服从费米——狄拉克统计的粒子成为费米子，服从波色—爱因斯坦统计的粒子命名为玻色子。似乎结局很完美，但是悲摧的是，七十年以后的1995年，两位美国青年康奈尔、维曼以及德国科学家克特勒由于第一次直接观测到了玻色-爱因斯坦凝聚态，从而获得了诺贝尔奖，而它的提出者---玻色，却至死都没有获得过。
　　量子力学的大厦确立，并且逐步覆盖物理学力热声光电各大领域，单单万有引力携广义相对论这一大杀器对抗王化。100多年来，无数苦逼的青年默默地付出，他们埋着头在黑暗中艰难地前行。疑似希格斯玻色子的发现是不是一个契机呢？万能理论能就此提出吗？统一以后又会怎么样呢？我们拭目以待。.

　　高中时，在省图书馆淘到一本方校长的《物理学史》，如获至宝，于是津津有味地读起来。书中一个看起来像中国人的名字吸引了我，因为他的理论和爱因斯坦的狭义相对论看起是一样的，还比爱因斯坦提出狭义相对论更早，为啥狭义相对论版权属于爱因斯坦而不他呢？多年以后，我才明白，当时已经体衰的老人不如小他25的叛逆青年，不敢断然抛弃经典物理学的枷锁——以太。

　　昂利·彭加勒（常译作庞加莱）和其他科学家不同，他不具有良好的遗传基因，并不是一个聪明人，当他成为著名的数学家以后，曾参加比尔试验（比尔是法国心理学家，一说德国），结果他被断定是一个笨人。

　　彭加勒的童年是不幸的。在幼儿时，他的运动神经共济官能就缺乏协调。他的两手后来虽说都能写字书画，但他的字、画都不好看。在他的孩提时代，母亲把全部心血倾注到子女的教育上，所以他的智力发展很快，很早就学会了讲话。不过开始还不大顺利，他思考得很快，而迟迟找不到要说的恰当的词语和方法。5岁时，白喉病把他折磨了整整 9 个月，从此留下了喉头麻痹症。这次疾病使得他长时期身体虚弱、缺乏自信。他无法和小伙伴们作粗野的游戏了，只好另找欢乐，从而与书籍交上了朋友。彭加勒视力极差，他上课时看不到老师在黑板上写的东西，也不好记笔记，只能靠耳朵听。幼年的残疾还弄得他手指不大听使唤，从而妨碍了实验技巧的训练。可是就是这么一个半残疾的笨人最终成为了历史上最后一个全才数学家。

　　是什么驱动着彭加勒的成功呢？普遍的观点是他具有极强的记忆力。但我却不这么认为。彭加勒流传最广的一句名言是这样的：“科学家并不是因为大自然有用才去研究它，他研究大自然是因为他感到乐趣，而他对大自然感到乐趣是因为它的美丽，如果大自然不美，那就不值得认识，如果大自然不值得认识，就不值得活下去。” 许多年后，爱因斯坦这样说：“我同意昂利·彭加勒，相信科学是值得追求的，因为它揭示了自然界的美。这里我要说的是，科学家所得到的报酬是在昂利·彭加勒所说的理解的乐趣，而不是在于他的任何发现可以导致应用的可能性。”美是一切的前提，一个人即使再有天赋，当他在天赋上失去发现美的能力，他必然成为伤仲永。保持着对美的追求，才能保持着生活的动力。从这种意义上说，彭加勒就是为数学而生，为美而活。

　　彭加勒的故事告诉我们，不管你的智商是高是低，身体是好是坏，只要保持了对美好事物的追求，他这一生就绽放了美的光华。

　　1912年7月17日，彭加勒在巴黎去世。小文一篇，纪念下伟人的百年忌辰。.

奇怪逻辑1：

当体育运动员在奥运会上披金戴银的时候，我们说：没有体育基础的金牌没有价值。

当奥数运动员在奥数竞赛上披金戴银的时候，我们说奥数只适合少部分人。



奇怪逻辑2：

奥数导致拿不到诺贝尔奖。姑且不论奥数和诺贝尔奖之间是否有关系，假设有，那也是不学奥数导致拿不到诺儿奖。奥数热起始于90年代初期，那批孩子远远没到应该获得诺贝尔奖的年龄。很明显是90年代以前那些没学奥数的拿不到诺贝尔奖。

我们的近邻鬼子国，奥数整体氛围比我们厉害，人家拿过诺贝尔奖。英国的11+考试，比奥数变态得海了去了，人家也拿过诺贝尔奖。



奇怪逻辑3：

如果一个病人去医院看病，医生肯定是想着的怎么治病，即使是绝症，也要想办法缓解症状。

当然，我们的奥数病了，可是给奥数看病的医生开出的药方是把病人杀死。这样病也就没有了。.

　　免责提示：观看本文，后果自负。

　　本文为菜鸟个人观点，未经数学和教育专业人士审核，故菜鸟不保证文中引用的正确性，推理的正确性和结论的正确性，观看本文所引起的所有不良反映（包括但不限于头晕，呕吐，感冒发烧等），均后果自负，菜鸟不承担任何责任。



以前对数学，甚至于理科的思考，总是局限于怎么学好，怎么学轻松，而忽略了一个本质的问题，学来干啥？目的是什么？我们学了那么多的功课，毕业了能用到多少。

昨天看了木头妈推荐的《数学课必须改头换面》，明白了一点，学习是为了生活，学数学的终极目标是优化生活。而不是考试多少分，上什么中学，上什么大学，等等。要找好工作，就得上好大学，要上好大学，就得上好中学，就要搞好小升初，这个逻辑是有问题的。如果为了这样一些功利性的目标，放弃对美，对快乐的追求，最终得到的是劳累的一生。

学数学的终极目标是优化生活，什么是优化生活？大到工作的选择，小到晚饭吃面条还是米饭，怎么样选择最优，这些都是数学能力的终极体现。那么在我们学习的过程中，要追求的，也得为这一目标进行。我们追求最优，而不是最好。有些时候，更优和更好是一致的，比如，花同样多的学习时间，A考了100，B考了95，那么A比B更好，也更优。我们的数学题，也是这样，给出你条件，你选择一个更好同时更优的公式，解出来，就行了，在这里最好就是最优，从而混淆了最好和最优的概念。可是在大多数时候，什么好很容易判断，什么优却是无法判断的。比如，A用了120%的力气得了100分，B只用了80%的力气得了99分，C用了60%的力气，得了95分。毫无疑问A最好，C最差。可是对于谁优呢？这个就没有标准答案了，如果给出这个完整数据，大家也许还有些不同的判断，如果隐去前面的付出，只看到最后的分数呢，A 100分，B 99分，C 95分？估计大家都认可A最优吧，可是实际上A的辛酸谁能知呢。我们的教育，只告诉大家追求更好，这是奥运精神，不是我们的生活。

正如《数学课必须改头换面》所说，我们生活中，不可能有正好符合条件的环境存在，我们必须在无数多余的条件中选择合适的条件，并且在无数不足的条件中进行假设，并最终解决问题。前一条是批判性思维的能力，后一条是创造性思维的能力。这些都不是学校教育能带给孩子们的。当孩子的课余时间被作业和补习班占满的时候，他哪里还有时间去生活呢？

批判容易，建设难，建设只有靠我们自己。首要的，是要认清做一件事情，是否有利于提升孩子成人后具有优化自己生活的能力。

第一个是提出问题的能力，家长要做的是善待孩子的问题，即使回答不了，解决不了，也不要吝舍您的赞美。孩子每一个稀奇古怪的念头，都有课程成为砸向牛顿的苹果，让我们期待它比乔布斯的更伟大。

第二个，是变量思维，变化会引起变化，数学中这就是函数，生活中就更多了。

第三个，是对称思想，对称是最美的，语文，美术，音乐，物理，任何一门学科都离不开对称。

一派胡言，不知所云。.

　　免责提示：观看本文，后果自负。

　　本文为菜鸟个人观点，未经科学学和教育专业人士审核，故菜鸟不保证文中引用的正确性，推理的正确性和结论的正确性，观看本文所引起的所有不良反映（包括但不限于头晕，呕吐，感冒发烧等），均后果自负，菜鸟不承担任何责任。



　　2005年温家宝总理在看望著名物理学家钱学森时。钱学森认为：“现在中国没有完全发展起来，一个重要原因是没有一所大学能够按照培养科学技术发明创造人才的模式去办学，没有自己独特的创新的东西，老是‘冒’不出杰出人才。”这就是著名的钱学森之问。但是钱老只看到大学的问题，忽略了初等教育中存在的问题。

　　菜鸟认为，我们培养不出杰出人才，在教育上的主要原因还是在中小学的数理化教育。我们的文科教育，虽然问题也颇多，但是有很多勇于实干的语文老师在提倡海量阅读，读大师经典作品，像朱自清的散文等等。但是我们的数学科学教育，却罕见有人指导孩子阅读科学大师的作品。霍金说过：“给孩子讲科学是容易的，因为他们没有偏见。”在青少年事情，培养科学素养都比成年后培养更容易。然而我们的小学数学教育，不管是学校的减负，还是校外的奥数，都是围绕着做题来开展，缺失了阅读科学家作品，科学家传记这一重要环节，使得孩子成年后失去像科学家一样思考的能力。这也是钱学森之问无法回避的重要原因

　　科学家是如何思考的

　　科学家可以分为两种，一种科学家是问：为什么这样？从已知的结果，在好奇心的驱动下，去猜想出现这种结果的原因。牛顿和爱因斯坦都是这样的典型。另一种科学家是问：为什么不能这样？从已知的原因出发去发现能够改变世界的结果，2010年诺贝尔奖得主高琨就是这样的类型（此段参考《科学家与科学之路》----姚期智院士特邀报告）。无论那种思维方式，串联因果的都是逻辑。

　　我们可以看到在孩子小的时候，经常会以这两种思维方式进行思考，也就是说孩子都有成为科学家的潜质，欠缺的是逻辑能力和科学家使用的思维工具。只要补上这两个环节，孩子就能具备初步的科学素养。

　　逻辑的重要性

　　世界科技中心的转化顺序是这样的：古希腊——古罗马——英国——法国——德国——美国。可以看出，在知识量较低的时代，浪漫懒散的拉丁语族国家主宰了科技世界。随着工业革命的爆发，知识量的积累，严谨日耳曼语族的国家成为科技的主流。中文这门语言，相对于英语，在逻辑上天然欠缺。遗憾的是，中国的教育体系一直没有把逻辑作为一门单独的课程，只有在借鉴西方考试体系的MBA入学考试才比较重视逻辑。

因此，想要孩子像科学家一样思考，补上逻辑这一学校遗漏的重要一环是非常迫切的。

四大思维工具

　　除了逻辑思维能力的培养，还需要让孩子逐步掌握科学的四大思维工具。

１．     科学的防火墙，波普尔的证伪说

波普尔是一个著名的科学哲学家，他认为归纳法不是科学的方法，经验科学的方是假说、演绎法，科学的任务在于建构假说或理论系统,然后用观察与事实来检验它们。这种检验不是为了证实理论以提高假说的概率,而是提高假说的可检验性,增加经验内容。科学的理论或命题不可能被经验证实,只能被经验证伪。举个例子“乌鸦都是黑色的”这个命题无法被证实，因为无论看到多少只乌鸦是黑色的，都不能在逻辑上证明全部乌鸦是黑色的，只要有一只乌鸦不是黑色的，就证伪这个命题了。波普尔认为，所有的科学理论都是假说，在找到反例以前，都可以认为是正确的。而那些无法证伪的命题，是被排除在科学以外的，比如“世界上有上帝”，即使全世界的人没见过上帝，也不能证明上帝不存在。这样的问题还是交给宗教去解决。

２．     科学的裁决器，奥卡姆剃刀

奥卡姆剃刀（Occam's Razor, Ockham's Razor），是由14世纪逻辑学家、圣方济各会修士奥卡姆的威廉（William of Occam，约1285年至1349年）提出。他在《箴言书注》2卷15题说“切勿浪费较多东西，去做‘用较少的东西，同样可以做好的事情’。”简而言之，就是：把复杂的事情简单化，不要去增加一大堆无用的假设。比如皇帝的新衣这个故事，成人的理论有两个假设，假设1.衣服很神奇，笨人看不见。假设2.我很笨。推出结论，我看不见皇帝的衣服。而孩子的理论只有一个假设，皇帝没穿衣服。孩子的假设更少，所以孩子掌握着真相。

在科学理论上，两套都能自洽的科学体系，哪个的假设更少，就更接近真相。相对论的提出，就是奥卡姆剃刀在科学上应用的一个典型例子。爱因斯坦去掉以太这个假设，靠近了上帝。

３．     科学发展的原动力：悖论（佯谬）

悖论指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论，但表面上又能自圆其说的命题或理论体系。悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解认识不够深刻正确所致。

“科学上的重大进步几乎都是犹豫旧的理论遇到了危机，通过尽力寻找解决困难的方法儿产生的。”（爱因斯坦，英费尔徳《物理学的进化》）历史上有三次数学危机，每一次都是因为悖论产生的。数学危机后都伴随着数学的革命和进化，后两次还推动了物理学的进化。可以说科学的发展是悖论推动的。

４．     科学家大脑里的秘密——思维实验

　　思维实验是在大脑中进行的实验，科学家都是思维实验的高手。最著名的就是伽利略用落体悖论推翻亚里斯多德“物体越重下落速度越快”的观点。

　　两个重量不同的物体，如果重的下落快，轻的下落慢，那么把他们绑在一起呢？一方面，绑在一起更重了，应该下落更快。但是另一方面，绑在一起以后，轻的落得慢会拉着重的下落慢，下落速度应该介于轻重之间。于是伽利略得出自由落体下落速度和重量无关的结论。

　　爱因斯坦的相对论也是思维实验的产物。



　　毫无疑问，我们和西方发达国家相比，在教育科技上都是处于落后低位。如果能让孩子从小像科学家一样思考，不仅对我们缩小差距有所帮助，对孩子个人的成长也是作用明显的。.

非常棒。.

所列1234思维工具，我不知道是否完整，但这几个工具是我在孩子小升初阶段用得最多的。它们可以帮助孩子将自己的思想从小学走向初中，从幼稚走向成熟。.