以数字1开头的自然数占全体自然数的百分之多少？

[ 本帖最后由 echooooo 于 2007-7-17 15:32 编辑 ].

首数为1的自然数约占全体自然数的1/3，
准确地说，是lg2，约=0.3010，即30.10%.

哈哈，你剽窃题目，我偷抄答案。.

LS答案不对，不管几开头的自然数都有无穷多个，都是无穷。.

没法直观想象.能提示一下思路吗?.

11%左右.

能讲一下具体思路与答案吗？.

正如炫爸所说，这道题目是我在一本书（500个最新世界著名数学智力趣题，刘培杰，哈尔滨工业大学出版社,序言 page8）上看到后觉得蛮有意思，剽窃下来的。 后来贴到雅虎知识堂——

首数为1的自然数约占全体自然数的1/3，
准确地说，是lg2，约=0.3010，即30.10%

详细可见P.Diuconis.The distribution of leadingdiglts and kniform distribution modl,prod,s(1997)72~81
Persi Diacois珀西.迪亚科尼斯是斯坦福大学的统计学家，于1974年证明。

想当然的答案好像应该是1/9，因为自然数开头的无非是1~9这九个数字。
但仔细想想，好像标准答案（lg2）是有道理的——当然我也不知如何正确证明，或许想法还是错的，只不过是想用有限的数学知识来直观地理解：

撇开无限这个概念，可否把本题理解为：任给一个足够大的自然数n，其中以1开头、且<n的自然数的数量m占的百分比p？

比方说，为方便讨论，任给一个5位的自然数。那么，任给的这个自然数就大有讲究：
最有利状况：n=19999时，m=11111，p=11111/19999=55%
一般状况：如n=34567时，m=11111，p=11111/34567=33%
最不利状况：n=99999时，m=11111，p=11111/99999=11%
所以，窃以为11%<p<55%，得出答案=lg2是可以理解的，而且是美妙的。.

这样理解的明显缺点在于：
以2、3、4、5、6、7、8、9开头的自然数占全体自然数的百分比就各不一样了，而且依次减少。不知事实是否如此？
哎，碰到无限就真的"无限”了！
炫爸、老姜、老猫、考拉、helen...呢？.

俺在，一直在关注这个帖子，等着炫炫爸给详细答案。

俺对无限一向是很危惧的，有限情况下的很多方法和结论在无限状态下是不能用的。
所以我只能关注而已。

麻烦echooooo把本人的名字从期待名单中去除。
.

我是第四个，一直等着前面几位给答案，看来轮不到俺了。.

我是最后一个，前面那么多前辈，看来也轮不到俺了。

贴一个第一数字定律供有兴趣者研究。
描述的是自然数1到9的使用频率，公式为F(d) = lg[1 + (1/d)]（d为自然数1到9），其中1使用最多接近三分之一，2为17.6%，3为12.5%，依次递减，9的频率是4.6%。

[ 本帖最后由 helenLee 于 2007-7-7 14:30 编辑 ].

您住宅地址号码是以a 1开始的吗？根据一个奇特的数学定律统计，约三分之一的住宅号码是以1作为其首个数字的。其它许多几乎没有任何共通性的地区也有相同的情况：比如道琼斯指数的历史数据、个人电脑中文件储存的大小排列顺序、世界主要河流的长度、报纸头版头条的数字及其它许多事情。

该定律根据其第二位奠基人弗兰克·本福特的名字被命名为本福特定律。通用电气公司物理学家本福特于1935年发现了这一定律。该定律告诉人们在各种各样不同数据库中每个数字（从1到9）作为首个重要阿拉伯数字的频率。

除数字1始终占据约三分之一的出现频率外，数字2的出现频率为17.6%，3出现的频率为12.5%，依次递减，9的出现频率是4.6%。在数学术语中，这一对数定律的公式为F(d) = log[1 + (1/d)]，此公式中F代表频率，D代表待求证数字。

这一现象让人觉得很奇怪，来自科尔多瓦大学的科学家杰赫斯·托里斯、桑索利斯·费尔罗德滋、安东尼奥·迦米洛和安东尼奥·索拉同样也如此认为。科学家们在《欧洲物理杂志》上发表了一篇题为“数字如何开始？（第一数字定律）”的文章，该文章对这一定律进行了简要的历史回顾。他们的论文同时还对第一数字定律的有效应用进行了阐述，并对为何没有人能够对这一数字出现频率现象做出合理解释的原因进行了阐述。

等离子体物理学专家托里斯说，“自从我了解本福特定律以来，它一直是我很感兴趣的问题之一。在统计物理学课堂上，我一直将此定律作为一个令人惊奇的范例来激发学生们的好奇心。”托里斯解释道，在本福特之前，有一位深受尊敬的天文学家名为西蒙·纽库姆，他在1881年发现了这一定律。纽库姆同时代的科学家们并没有对他的科学发现引起足够重视。本福特和纽库姆两位科学家均对这一定律感到困惑：当浏览对数表书籍时，他们注意到书的开始部分要比结束部分脏得多。这就是说他们的同事到图书馆后，选择各种各样学科书籍时首选第一页开始阅读。

本福特对此疑问的观察要比纽库姆更深入一些。他开始对其它数字进行调查，发现各个完全不相同的数据，比如人口、死亡率、物理和化学常数、棒球统计表、半衰期放射性同位数、物理书中的答案、素数数字和斐波纳契数列数字中均有“第一数字定律”现象的出现。换句话说就是只要是由度量单位制获得的数据都符合这一定律。

另一方面，任意获得的和受限数据通常都不符合本福特定律。比如，彩票数字、电话号码、汽油价格、日期和一组人的体重或者身高数据是比较随意的，或者是任意指定的，并不是由度量单位制获得的。

正如托里斯和他的同事所解释的，数十年来科学家紧随本福特对这一数字现象进行研究，但是除了发现更多的例子外，他们几乎没有发现有关比第一数字定律本身更多的东西。然而科学家们还是发现一些奇特现象。比如当对数据库中的第二重要数字进行调查时，该定律仍然发挥着作用，但是第二重要数字的重要性却降低。同样，第三和第四重要数字所展现出来的特征就开始变得相同起来，第五重要数字的频率为10%，刚好是平均数。第二个奇特现象引发了更多的科学兴趣：

科学家们在他们所发表的文章中写到，“1961年，皮克汉姆发现了首个常规相关结论，该结论显示本福特定律是一个尺度不变原理，同时也是唯一一个提出数字尺度不变原理的定律。那就是说，由于是以公里来表示世界河流的长度，因此它满足本福特定律，同样以英里、光年、微米或者其它长度单位数字都会满足这一定律。”

托里斯同时还解释到，在二十世纪晚期，一些重要的预测理论（基数恒定性及唯一性等）被特德.希尔和其它数学家证实。虽然一些范例（比如住宅地址号几乎总是以数字1开头，低位数总是出现在高位数之前）得到了解释，但是目前仍然没有找到任何能解释各种范例的能用判断标准。科学家们同时还解释到，没有任何优先标准能够告诉我们什么时候应当或者不应当遵守这一定律设置数字。托里斯说，“现在对该定律的研究取得了许多理论成果，但是一些理论成果仍然是前途未明。为什么一些数字设置，比如通用物理学恒量会如此完美地符合这一定律？我们不仅要了解这一定律的数学原因，还要掌握这一套实验数据的特征。比如他们的连接点是什么？他们来自哪里？很显然，他们是相当独立的。我希望将来能够找到这一定律的总体必然性和充分条件。很多人都对这一定律感兴趣，特别是经济学家。但是我也知道这一定律也许有可能是永远都不可能的事。”

然而，科学家们已经使用该定律进行了许多实践应用。比如，一个公司的年度帐目数据应当是满足这一定律，经济学家可以根据这一定律查找出伪造数据。因为伪造数据很难满足这一定律。（非常有趣的是，科学家发现数字5和6，而不是1是最流行的数字，这表明伪造者试图在帐目中间“隐藏”数据。）

本福特定律最近还用于选举投票欺诈发现。科学家依据这一定律发现了2004年美国总统选举中佛罗里达州的投票欺诈行为，2004年委内瑞拉的投票欺诈和2006年墨西哥投票欺诈。

托里斯说，“有关第一数字定律是通过脏书页发现的故事是完全不可信的。本福特定律不可否认已经得到应用。当这一定律被发现是其能够带来的好处并不明朗。对我而言，它仿佛仅仅只是一个数字奇异现象。这就是简单中可能蕴涵有意想不到神奇之处的典型范例。”.

想获得有关本福特定律的详细知识，可以登陆http://www.iop.org/EJ/abstract/0143-0807/28/3/N04网页查阅具有很高可读性的文章。

英文原文链接参见：http://www.physorg.com/news98015219.html.

^_^，考拉兄晚了一步。

不过突然发现，以上事实是一个定律。
定律和定理是不同的。.

不过，还是 。
不知这个定律（or定理）是统计规律呢，还是？
看样子我的理解还是有可取之处的 ，至少可以推导出百分比越来越小。
疑问是根据公式，加起来的和等于1吗？算不来。.

根据我的观察，貌似是统计规律。
也就是说只是猜测而已。
：）.

猫大师啥辰光写篇论文大家读读，也好让祖国的数学事业光大一下嘛！ .

不晚，一直在这里学习，准备学到老了！ .

回头跟儿子显吧显吧.

WW上的爸爸都是啥职业啊，不是数学老师，就是数学家把！我题目都没看懂，你们就有答案了！ 真厉害.

引用:

原帖由 nnukny 于 2007-7-9 22:02 发表
WW上的爸爸都是啥职业啊，不是数学老师，就是数学家把！我题目都没看懂，你们就有答案了！ 真厉害

哈哈，其实都是抄来的。
题目是抄来的，答案也是抄来的。
.

知识也是从前人那里抄来的，能知道去抄，至少可以说明一点，需要什么时，立马学习什么，哈哈。。。.

天下数学一大抄?.

发现问题比解决问题更难。.

我们自己,以及孩子,在学校所受的教育,总的来讲,是依靠题海达到熟能生巧的境地,更象是背诵答案,而不是举一反三解决问题,更不用说敏锐地提出问题了.
我另有一帖,也是想跟大家讨论这事------"学问"还是"学答"
http://ww123.net/baby/thread-4441220-1-1.html.

引用:

原帖由 上海的考拉 于 2007-7-8 16:35 发表
猫大师啥辰光写篇论文大家读读，也好让祖国的数学事业光大一下嘛！

要是我能写出光大中国数学事业的论文。那么就不是老猫，而是猫老了。.

引用:

原帖由 老猫 于 2007-7-10 16:53 发表


要是我能写出光大中国数学事业的论文。那么就不是老猫，而是猫老了。

怪不得现在数学班招生这么多，连国际奥数教练也开班招幼儿园的孩子啦。哈哈。。。.

一根细直筷子，任意折成3段，能拼成一个三角形的概率是多少？.

想补充几句话，以免偶尔看到此帖的同学们被误导。所谓“首数为1的自然数约占全体自然数的1/3”的结论肯定是错误的。所谓1/3的真正含义大约是：从1开始数到n的自然数序列中首数为1的自然数出现的比例分布大约在11%<p<55%之间，概率趋向于1/3。这个规律应该有许多实用价值，但不能因此得出标题的结论。通俗的举例如果有两台机器以同样的速度去分别数自然数“1、2、3、4、5.....”和1开头的自然数“1、10、11、12....”,无论任何时候两台机器数的个数都是一样的......  不同的结论就出来了。.

0717.JPG (4.87 KB)

2007-7-17 18:40

设周长为1，三边长分别是a,b,c。
显然a>=0.5是不行的，b>=0.5也是不行的，a+b<=0.5也是不行的。
那么画一张关于a和b的关系图，也就搞定了。.

难得看到猫兄的“几何画板”，果然正宗。
只是貌似中间的那个三角形加点阴影或颜色就更了然了。

说到那题“以数字1开头的自然数占全体自然数的百分之多少？”，也觉着玄乎，只是题目尚有出处，且已明示，故不敢妄加评论。
只是类似题目，如“在自然数中，是偶数多还是自然数多？”究竟怎么回答算对？目前较公认的答案好像是“一样多"，理由是“它们可以一一对应”，真的是有点迷糊。能否提供一个权威答案？.

阴影或者涂色都可以做到，只是我比较懒。：）.