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原帖由 火车是运茶的 于 2008-7-31 12:46 发表
请问你哪里看出来我呼吁取消奥数了？莫名其妙
还不明白的话，请回去参看65#， 72#。

我想你误会我的意思了。换个说法，如果我有你对数学懂这么多，我就去开个帖子探讨如何教小孩子数学，然后把积累下来的内容，还有大家的反馈，编写一个数学教材，或者至少可以是一个辅导小孩子数学的指导手册。
如果你起头，我一定会尽我所能积极参与，WW上的能人很多，或许会有更多人愿意一起做这件事情。这比我们在这儿讨论奥数怎么样会更有实际的意义。
一个好的老师可能可以让1000个学生受益，但一本好的教材会让无数的学生受益。.

教材方面自然有教育主管部门组织数学家和教育专家去编写数学教材。我们并不缺少教材。问题只是说，很多家长盲目去追求一些超前的内容，但是没有按照教材的顺序按部就班学习。前面说了，奥数其实就是超前学习。超前学习也应该由浅入深的，循序渐进；但是奥数恰恰违背了这个规律（见54#）。从前面145#的讨论也可以看到，有一些奥数题，有很深的数学背景。就题目本身而言，出得很好，但是需要好的老师来教；遗憾的是，大多数奥数班不具备这个条件——何况就算老师讲得好了，小孩也不一定能够领会其实质。

获得第八届钟家庆数学奖优秀博士论文奖的郑浩说，俄罗斯数学界人才辈出，许多人在二十多数就取得了令人瞩目的成就，原因之一就是他们会请许多数学大师定期为全国大、中、小学生进行学术讲座，孩子们从小就有机会领会数学思想，用数学思维去认识世界，这是我们国内的奥数班所不可能具备的。
（http://epaper.bjd.com.cn/wb/20071106/200711/t20071106_376306.htm）

关于如何教小孩子数学，我想处在教学第一线的老师更有发言权。我能给家长们的忠告就是：请记住，奥数只是没有章法的超前学习。

你的提议有合理的地方。我会在旺网上偶尔点评一些题目。事实上，本帖前面我已经讲了一些。.

明白了。每袋编码，依次选1到10个橘子，混在一起用砝码称，看缺多少个5克，就是哪袋。.

引用:

原帖由 火车是运茶的 于 2008-7-31 16:04 发表
教材方面自然有教育主管部门组织数学家和教育专家去编写数学教材。我们并不缺少教材。问题只是说，很多家长盲目去追求一些超前的内容，但是没有按照教材的顺序按部就班学习。前面说了，奥数其实就是超前学习。超前学 ...

你这么想很可惜的。可能教材的说法太过正式了，或者你可以想象成一本让家长可以读给小孩子听，或者小孩子自己也可以看的数学思想启蒙书。.

有个初中数学老师说，教没学过奥数的孩子比学过的容易，因为一个是正规路子，一个习惯了搞脑子，反而难教了。.

小学生学的数学很初等，很简单。
    尽管简单，里面却蕴含了一些深刻的数学思想。

函数思想最重要

    最重要的，首推函数的思想。
    比如说加法，2和3加起来等于5，这个答案“5”是唯一确定的，写成数学式子就是2+3=5；如果把左端的3变成4，右端的5变成6，把左端的2变成7，右端的5就变成10。右端的数被左端的数唯一确定。在数学里，数量之间的确定性关系叫做函数关系。加法实际上是一个函数，有两个数确定一个数，诗歌二元函数。如果把式子里的第一个数“2”固定了，右端的和就被另一个数确定，就成了一元函数。
    在中学里学习函数概念，只讲一个函数，以为多元函数复杂，不肯讲。其实，小学生先熟悉的是多元函数，因为学过的大量的数量关系是多元函数的例子。矩形面积等于长乘宽，是二元函数；梯形面积等于上底加下底的和再乘高除以2，是三元函数。所以多元函数的概念更容易理解。讲函数概念，不妨一开始就讲多元函数；具体研究，再从一元函数开始，这样比只讲一元函数更容易理解。
    当然，不用给小学生讲函数概念。但老师有了函数思想，在教学过程中注意渗透变量和函数的思想，潜移默化，对学生数学素质的发展就有好处。
    比如学乘法，九九表总是要背的。三七二十一的下一句是四七二十八，如果背了上句忘了下句，可以想想21+7=28，就想起来了。这样用理解帮助记忆，用加法帮助乘法，实质上包含了变量和函数的思想：3变成4，对应的21就变成了28。这里不是把3和4看承孤立的两个数，而是看成一个变量先后取到的两个植。想法虽然简单，小学生往往想不到，要靠老师指点。挖掘九九表里的规律，把枯燥的死记硬背变成有趣的思考，不仅是教给学生学习方法，也是在渗透变量和函数的数学思想。
做除法要试商。80除以13，商是多少？试商5余15，不够；试商6余2，可以了。这里可以把余数看成是试商数的函数。试商的过程，就是调整函数的自变量，使函数值满足一定条件的过程。
    小学数学里有很多应用题，解题的思想方法常常是因题而异。可不可以引导学生探索一下，用一个思想来解各种各样的题目呢？试商的思想，其实有普遍意义，可以用来解许多不同类型的问题，包括应用问题，只要问题中的条件数据和解答之间有确定性的关系。
例如，修一条长32千米的公路，已经修了24千米，已修的路程是剩下的几倍？我们用类似试商的办法来试解。如果是1倍，剩下的是24千米，总长48千米，比题设数据大了；如果是2倍呢，剩下的12千米，总长36千米，仍比题设数据大；3倍呢，剩下8千米，总长32千米，正好符合要求。
    我想很多老师不会这样引导学生思考，认为这是个苯办法。其实，这个办法具有一般性，把试解的倍数看承自变量，把根据试解算出的总长看成试解倍数的函数，找寻使函数值符合题目要的自变量，这个思路能解决很多问题，是“大智若愚”。
这样思考试算，最终也会发现具体的规律，列出通常的算式。找寻使函数值符合一定要求的自变量，也就是解方程。方程本质上是函数的逆运算。加法看成函数，减法是解对应的方程；乘法看承函数，除法就是解对应的方程。函数思想和方程的方法，是一个事物的两面，都是大智慧，贯穿数学的所有领域。

“数形结合”在小学是可能的

    数学要研究的东西，基本上是数量关系和空间形式。当然，发展到今天，还要研究类似于数量关系的关系以及和一般形式的关系，等等。现在的课程标准把中小学数学分成了数与代数、空间与图形、统计与概率等几个模块。如何让这几块内容相互渗透、相互联系，是值得研究的问题。
    提到数形结合，往往觉得解析几何的事情。其实，数和形的联系，几乎处处都有。
    在数学当中，几何具有非常重要的地位。几乎所有重要的数学概念，最初都是从几何中来的。所以有人说，几何是数学思想的摇篮。几何不仅是直观的图形，而且还需要推理，推理就要使用语言，所以几何的语言很重要。我们在教学或者编写教材的时候，往往是学数的时候就讲数，到了学几何的时候就讲几何，缺少把两者联系起来的意识。
    例如，有一套教材开始就让学生玩积木，也就是认识立体图形。立体图形比平面图形更贴近生活，比数更贴近生活，是更基本的东西，这是教材的优点。但是，如果在玩积木时不仅让学生注意一块积木是方的、圆的、尖的，还让他们数一数某块积木有几个尖（顶点）、几个棱、几个面，就在学生头脑中播下形与数有联系的种子。
    在认识数的时候，要举很多的例子，如一个苹果、一只小白兔等。我就想，在举例的时候能不能照顾到几何？比如学生在学习“1”的时候，就要学生用“1”来造句，书上可不可以有一些关于几何的句子？如“一个圆有一个圆心”、“一条线段有1个中点”、“一个正方形有1个中心”等。有的老师会说。这样不幸，学生不能理解。我想，可以画图帮助学生理解，学生虽然不知道这些概念准确的含义，但看看图就有一个直观的、初始的印象。孩子学语言一开始不是通过理解，而是通过模仿开始的，如果在学数的时候，能举一些几何上的离子，这对他将来学习几何肯定会有帮助。同样，在学习“2”的时候，我们可以教学生说：“一条线段有两个端点。”不需要让学生知道什么是线段，只有画一条线段，指出两头是端点。到后来学几何知识时，回头一想，他会非常亲切，因为他早已经会说了。在学“3”的时候，可以画一个三角形，让学生说“三角形有3条边、3个顶点”；学“4”的时候，可以画一个正方形，让学生说“正方形有4条边、4个顶点”；学5的时候，可以画个五角星；认识“10”的时候，除了10个指头，不妨画一个完全五边形让学生数一数有几条线段；穴道100以内的数，就可以告诉学生正方形的角是90度，等等。小孩子记忆力好，早点记一些东西，以后再慢慢理解。
    在中国古代的私塾里，学生入学后往往先让他们背几个月，甚至一年，然后才开讲。当然这种教育方式不能作为模式，但是也并非没有可取之处/学生已经会背了，再讲的时候，他印象就非常深刻了。我们讲建构主义，先要有信息进去才能建构，一个人闭目塞听，不和外界接触，是很难建构出东西来的。总之，几何语言的早期渗透可不可能，值得研究。.

上面是一个数学家写给小学数学老师的信，发表于《人民教育》。家长们也可以看看。我认为如果家长真的希望孩子学好数学，那自己也要再学习。

下面转载两个书评。这两本书我是推荐给旺网的家长们的。也请家长们注意其中提到的陈省身关于“好数学”与“坏数学”的论述，特别地，陈老先生将奥林匹克数学题都归入“不好的数学”。.

陈克艰　
来源：中华读书报

《数学方法趣引》，孙泽瀛著，少年儿童出版社2005年8月第1版，9.00元

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　　有些貌似浅显实质玄奥的话头，老和尚说得，小和尚是说不得的。例如，陈省身先生曾经把数学分为“好的
”和“不好的”两种，他还说，“像奥林匹克竞赛那样的数学，就是不好的数学”；这样的话头，学舌容易，理解困难，不理解而马上发言，表示拥护或者反对，那就不是在谈论数学，而是在参加竞选投票。杨振宁赞陈省身“千古寸心事，欧高黎嘉陈”，视之为可以追配欧几里得、高斯、黎曼、嘉当的伟大几何学家。陈先生端坐在数学殿堂的诸佛菩萨之列，口吐纶音，又远不止是老和尚的话头了。

　　数学有高低之分，深浅之别，这分别还比较容易捉摸。中学里的数学比起高等代数和数学分析来，当然是低浅的；而“高代”、“数分”比起抽象代数和泛函分析来，又谈不上高深了。然而，数学之为“好”抑或“不好”，却没有现成的标准，因为这分别要靠体会。犹之乎认识一个人，单看他的履历表格，可略知其文化程度之高低，执事能力之强弱，但欲知其人之好坏，非与他打过交道不可。

　　想对好的数学有切身体会，也不必一定要读高深的课程。眼前这本《数学方法趣引》，就是一本通俗的“好数学”的读物。只要是对数学有点兴趣、肯动脑筋的读者，无论中学生、成年人，都能读得懂这本书。人们常说，科普读物不仅要介绍科学知识，更应该传授科学的精神和方法，但要实现这个目标，可并不容易。科学精神和科学方法无法凭空讲，必须联系有一定深度的科学知识才能讲。多数的读者，科学知识的基础难免薄弱，即使专业的科学工作者，跨出本行的界限，也和多数读者差不多，所以真能消泯界限、引人入胜、使读者开卷受益的科普读物极其难得。《趣引》的作者孙泽瀛先生是老一辈的数学家，在数学研究上成绩卓著。他早年往美国印第安纳大学读博士，就是因陈省身先生的引荐。作为一名学有根柢又长年从事教学的数学专家，孙先生写这本书，写得既生动形象，又直抵精蕴。《趣引》的文字，温润且流利，雅训而浅白；更重要的是，文字始终体贴着思想，文字的进行，就是思想的进行，跟着孙先生的文字亦步亦趋，外行的读者也能享受到在精纯的数学思想中旅行的乐趣。

　　孙先生从多如牛毛的数学问题中，选讲了八个数学史上有名的问题，按现在的分类，它们都属于图论和组合论；作这样的选择，可谓用心良苦。孙先生写书的宗旨，是“想叫一般望符号和式子而生畏的人们，知道数学的作用而引起兴趣”。在他看来，符号和式子，以及其间的联络和推演，无非是“用数学的形式表达了一种思维过程”，而只有这种思维过程，才是“数学的核心所在”。因此，孙先生“从另一方面设法”，选择从直观性较强、对基础的要求不是很深、可以不用太多符号和式子的组合论问题切入，尽量只用通俗的语言，引导读者进入解决问题的途径，让读者“看出数学的观察与思考，究竟是怎样一回事”，从而对“数学的核心”，它的精神和方法，产生真切的感受。例如，数学教学一般都强调概念清楚，概念清楚了，才能解题；但创造性地解题往往需要在“思维过程” 中提炼新的概念，概念提得中肯，解决的途径才能显现。书中讲火柴游戏一章，在对游戏规则作了充分的“观察与思考”后，提出“胜利位置”的概念，而把“胜利位置”的条件彻底弄清楚了，就能证明：谁抢先占据“胜利位置”，谁就必操胜券，问题于焉解决。八个问题都带游戏性质，游戏虽是末事，但以游戏“趣引”读者进入“数学的核心”，意义就非同小可。我个人认为，在将数学精神和方法不走样地向大众普及方面，《趣引》这本书是最为成功的。

　　孙泽瀛先生逝世已经二十多年，《趣引》这次再版，距离初版也已五十多年。“文革”之前，无数青年数学爱好者受过这本书的影响，最突出的例子是陆家羲。他在大学物理系就读时，从《趣引》得知，其中介绍的“寇克曼女生问题”，将条件一般化后，成了百年未决的世界难题，从此发心钻研，于 1961年彻底解决了这个问题。《趣引》堪称“好数学”的通俗经典，具有常读常新、历久不磨的价值；我在想，即使再过五十年，它也仍然值得再出新版。

[ 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-8-4 12:32 编辑 ].

归纳·递推·无字证明·坐标·复数——数学小丛书：智慧之花

作者：丁石孙 主编 等编
出版社：北京大学出版社
出版日期：1995-5-1

本书是北京大学《数学小丛书——智慧之花》的第四本。内容为精选的饶有趣味的数学问题，旨在激发中学生和大学生学习数学的兴趣，使学生得到引人入胜的思维训练。什么是“好的数学”，什么是“不好的或不大好的数学”，著名数学大师陈省身先生对此有精辟的论述(见本书内容)。本书选编了“无字证明集锦”，“数学归纳法”，“递归序列”，“坐标法”以及“任意次代数方程”等五篇短文作为“好的数学”的例子，而把“napoleon, escher与平面拼铺问题”作为“不好的数学”的例子，旨在为中学数学教学和课外活动提供一些有用的材料，在培养学生基本的数学思维能力上尽量少走弯路。“关于数学归纳原理的一点注记”一文指出了国内外中等数学中广为流传的一个错误：数学归纳原理与最小自然数原理是等价的。为适应参加数学竞赛学生的需要，本书给出了第33届、第34届国际数学奥林匹克竞赛试题与解答。本书可作为高中学生、中学数学教师和低年级大学生的课外读物，也可供教学爱好者阅读，本书对有志参加数学竞赛的学生也有很好的指导意义。.

引用:

原帖由 火车是运茶的 于 2008-8-4 12:37 发表
归纳·递推·无字证明·坐标·复数——数学小丛书：智慧之花

作者：丁石孙 主编 等编
出版社：北京大学出版社
出版日期：1995-5-1

本书是北京大学《数学小丛书——智慧之花》的第四本。内容为精选的饶有趣味 ...

谢谢推荐这些数学书。.

这是两年前，2002年4月的一次散漫的访问。访问者梁东元先生是总装备部创作室的创作员。获知陈省身先生去世的消息，他给本报发来了这篇极少人读过的旧文，以作悼念。

他写道，在这样的时候，我对陈先生所传布的自由、简单和快乐有了愈加深刻的理解，也隐约感觉到，也许要过很多年，我们才能渐渐脱却一些浮躁和浅薄，开始领悟陈先生之于这个世界的非同寻常的意义。

2004年12月3日深夜，我正在网上游走，突然看到“陈省身”几个字从眼前倏然闪过……我把两年前采访陈先生时的合影找了出来，放在书架的正中间。在我和陈先生背后的墙上，是一只圆形的石英钟，上面的时针清楚地表明了那个瞬间：2002年4月5日13时13分零4秒。

这场雨从睡梦中就下起来，到中午了还在哗啦啦下个不停。天地间白茫茫一片，街道，车辆，树木，路旁的建筑，撑开了的伞，全都湿漉漉的，显然洗去了不少市面上的喧嚣与浮躁，以及与浮躁同样轻飘飘的漫漫扬絮。

从天津西站到南开大学大约要走二三十分钟，出租司机是一位长相粗犷神色生动的中年人，高喉咙大嗓门，非常热情，一路上用他那地道的天津腔跟我们说话。我们跟他说起陈先生，他立马接过话说，陈省身？知道。大数学家，不得了！天津人懂点儿事的谁不知道啊！你要说这陈省身，那可是人才哪。司机一边骄傲着，一边还要左顾右盼，忙着找路旁哪儿有花店，以方便我们给陈先生买鲜花。

甫一坐定，陈先生就颇有些出其不意地说，你们今天应该向我道喜。看到我们面露疑惑，陈先生停顿了一下才解释说，以前患有静脉血栓，前些时候还住了两个来月的医院。今天上午刚又去查了，一看，血栓竟然没了。我们听明白后，忙说这倒真是件喜事，好消息。陈先生如小孩儿一般得意，连连说，是，好消息，好消息。

世界上最要紧的是自由

“对小孩子不能管得太凶，管得太多的小孩子不会有出息。我小的时候上学很晚，但出来以后家里就没再管过，后来的每一步路也都是靠自己。现在好多家长望子成龙，恨铁不成钢，把孩子管得连气都喘不过来，这样管出来的孩子你怎么能让他将来有自己的发展？”

陈省身先生说，这个世界上，最要紧的就是自由。

梁东元：您回国定居有两年了，在数学方面或其他科技方面，能不能感觉到，国内是否在向上走的一个趋势？

陈省身：是的，往前走。我老是讲，南开的数学现在就很好。在南开，现在我们找了一大批年轻的人才，很不容易。至于有些人出去了，不愿意回国，主要还是国内现在的待遇低了一点。另外，在国外朋友多，工作比较容易，条件很好，有效率。中国的行政部门管得有些多。

梁东元：这个管是指什么个管？是干涉太多吗？

陈省身：嗯，干涉太多。干涉太多，哪怕是好意的，想帮忙的，从长远看效果也不好。最好是不理他，他自己知道该怎么搞。真正的天才是自己蹦出来的。你要知道，顶理想的就是他一个人做工作。大家都鼓吹交流，讲科学需要合作，需要互相帮忙，这有一定道理，但不全对。真正好的工作，第一流的工作，是一个人做出来的。一个人的创见是自己努力和灵感的结晶，很少是和一群人讨论的结果。有时候，一个人忽然一下子就有了一个很好的想法。值得注意的是，你有了这个很好的想法，有时候不见得当时就能知道，也许要等多少年之后，才发现这个方法的绝妙之处。

梁东元：您的话特别耐人寻味。对人才最大的爱护，是给他自由。

陈省身：对极了，自由。最好的科学是发现出来的，不是计划出来的。可是国内你要做什么东西，政府都要你的报告，而看报告的人往往并不真正懂，这也只能浪费时间。

我想，最要紧的是，政府要让大家放开手脚，要多给予支持，不支持科学就不能发展。

不过，有些人是不应该支持的。他不大行，打报告打得倒很好。现在中国出了一种新八股，一二三四，报告打得好极了，真正的工作他却不会做，所以并不行的。奇怪的是，这样的东西竟然还能起一点作用。

做事业首先要学会选择

一个有能力有决心的人，可以随不同的途径，完成自己的志愿。陈先生在回顾自己数十年的治学历程时，认为这一切结果之所以发生的其中一个重要原因，就是他在自己漫长人生的每一步都做出了正确的选择。

梁东元：我曾看过一个资料。有一次，台湾清华大学请您和杨振宁、李政道、李远哲一起参加一个座谈会，中间有位姓黄的教授曾提出过这样的问题，就是如何选择研究的方向和领域。杨振宁先生说，大学中有很多优秀的研究生，他们自己和老师都不能预测未来的成就有多大，可是二三十年后，成就却可能悬殊。事后一回想，成功的同学在当时不见得就比不成功者优秀许多。这其中的一个基本道理是，有人走对了路，左右逢源，而有人却走错了路，再努力也很难有大成就。我们知道杨振宁先生曾是您的学生，他的这些见解，和您做学问首先要做出正确选择的观点也是非常一致的。

陈省身：选择有时几乎就能决定一个人整个的命运，当然，这种选择是指关键时刻的那几步。也很难。中间有许多是靠机会。

学会选择，就是要自己知道该怎么走。老实讲，我那时候的选择，我老师都不知道。你自己有时也许不是太明确，但至少头脑要清楚，自己心里应该有一个大致的方向。比如数学，一个实际的问题是，一个人应否读数学，怎么样你才能成为一个好的数学家？英国大数学家Hardy 说过，一个条件就是看你是否比老师强。

梁东元：学生一定要比老师强。这个标准可不低。

陈省身：中国的数学其实是很好的。中国人的数学才能是世界公认的。中国的数学也是全面的。这是一个可喜的现象。像国际数学奥林匹克的竞赛，中国就连续多年取得特别好的成绩。

说到中学生数学奥林匹克竞赛，我是支持的，我相信如果一起考，我是考不过这些孩子的。但是，数学竞赛题目都不是好的题目，因为在两三个钟头里由青少年学生能做出来的技巧性题目，不可能有很深的含义。这样的竞赛虽然也是一种能力的表现，但离开研究一个好的数学问题还差得很远，更不能把奥林匹克数学竞赛获奖者等同于数学家。

梁东元：那么，什么才算是好的数学呢？难道还有坏的数学？

陈省身：好的数学就是有开创性的，有发展前途的。好的数学可以不断深入，有深远意义，能够影响许多学科。比如说，解方程就是好的数学。搞数学都要解方程，一次方程容易解，二次方程就不同，等等。这一类的数学是不断发展的，有永恒价值，所以是好的。而不好的数学就是那些仅限于把他人的工作推演一番的研究。还有一些数学虽然也蛮有意思，但也仅仅是一种游戏罢了。

梁东元：究竟怎么样才算不好的数学，这方面应该也有不少例子吧。

陈省身：举个例子，大家也许知道有个拿破仑定理。据说这个定理和拿破仑有点关系。它的意思是说，任何一个三角形，各边上各作等边三角形，接下来将这三个三角形的重心联结起来，那么就必定是一个等边的三角形。各边上的等边三角形也可以朝里面作，于是可以得到两个解。像这样的数学，就不是好的数学，为什么？因为它难以有进一步的发展。当然，你可以把它纯粹当作一种游戏，做事累的时候用来解闷，也是很有意思的。再把话说开来，比如现在世界上，还有国内每年发表的论文，多数是没有什么意义的平庸之作，只是在已经有的工作上做一些枝节的推广和改进，没有多大的创造性。

当然，选择好的方向，做好的数学，需要很强的能力。有能力做好的数学的人都是用功的，因为重复别人总是容易一些，但你想创新就要用功。

成功者的内心必定简单

把奥妙变为常识，复杂变为简单，数学是一种奇妙有力不可缺少的科学工具。陈省身先生认为，人生也是一样，你越是一个单纯的人，就越容易成功。陈省身先生一再说，人要简单。

梁东元：这里的简单，是不是也可以理解为简化？就是说一个人应该专心致志，心无旁骛，坚韧不拔做他所选定的事业？

陈省身：以前曾有记者先生问我是如何决定读数学的，我说是别的都做不好，所以就只能读数学了。我不像别人那么多才多艺，所以选择问题时也就十分简单，不用过多分心。

梁东元：简单实际上最不容易。生活中有那么多的诱惑，让人眼花缭乱。人的一生又那么短暂，但却把许多时间浪费掉了。那么，简单是不是也可以说成是一种数学思想？

陈省身：既是思想，也是目的。数学思想是人人都可以享用的，像数学中有一种非常重要的思想方法，化大为小，也就是把遇到的困难的事物尽量划分成许多小的部分，这样一来，每一小部分显然就容易解决。这样的方法每个人都可以用来处理日常问题的。

梁东元：在您的一本书中，您曾说，中国的大数学家如刘徽(魏晋时期)、祖冲之(南北朝)、李冶(金、元)等都生逢乱世，但他们却也做出了了不起的成就。

陈省身：只要有了人，有研究的精神，在哪里都能做事情。我一般不参加别的活动，只做我的数学。我现在这个住所叫作宁园，就有这么个意思。

一个人一生中的时间是一个常数，应该集中精力做好一件事。中国人浪费时间的事太多。我已经老了，本来数学是年轻人的事业，但我还想在前沿做数学，多做一点。

梁东元：相信这也是您的快乐所在。

快乐是人生第一要素

陈省身先生总是强调一种快乐人生，把不断寻找和发现乐趣作为生活的动力。快乐就是爱，就是使一切平常的东西变得有意义。陈省身先生说，生命有无意义，包括事业、家庭生活、健康长寿等等，都和快乐有关。

梁东元：一般人都比较害怕数学，可能是因为没有看到数学的美好，没有感到数学的乐趣。同时，可能现在社会上其它一些诱惑也影响到了数学。

陈省身：这些年，因为国家开放，年轻人都想经商赚钱，当然国家社会需要这样的人。但是做科学的乐趣是一般人不能理解的。在科学上做了基本的贡献，有历史的意义。我想对于许多人，这是一项了不得的成就。

梁东元：现在好像学生选学数学的也不是太多，家长或者社会上的看法也都倾向于别的门路。

陈省身：这是一个现象。现在许多有才能的学生都选择计算机、经济管理等热门学科，但正因为这样，若干年后，数学人才必然会出现紧缺。但是，数学这碗饭也不是随便什么人都能来端的，没有个十年八年的严格训练，做不了好的数学家。那么，不是想出国么？这很容易，只要你做了好的数学家，国内拿了博士学位，到国外去做博士后，甚至做教授，岂不比在国外打工挣学费更好。

梁东元：也就是说，这样才会得到更大的人生乐趣？

陈省身：实际上，解密物理学、生物学的本质奥妙，都离不开数学研究的突破。中国的数学政策，除了鼓励尖端的研究以外，还应该用来提高一般的数学水平。

梁东元：我们读过您七十五岁生日时写的诗，“何日闭门读书好，松风浓雾故人谈”。您的时间太宝贵了。

陈省身：不能再浪费时间，把精力和才华消耗在眼前的一点东西上。要静下心来，我现在九十多岁了，正在走向终点，但我还想为中国做一些事情。

梁东元：很抱歉，我们今天来也是在浪费您的时间。

陈省身：就是，你们这种找我，就是浪费我的时间。不过我很高兴看到你们。事情也有点矛盾。

和陈省身先生告别时，我们说，等到2008年北京奥运会举行时再来看望他老人家。我们的本意是想表达一种心愿，一种祝福，但这位银发满头的睿智老人却敏捷地摆摆手，用那始终沉静的语调缓缓说：不要等到那么晚。早点来。

南方周末 2004年12月10日.

好贴，顶.

支持正版。既然大家都支持。

[ 本帖最后由 zhenai 于 2008-8-6 14:27 编辑 ].

我家小牛四升五，从上学到现在，周末只参加剑桥班（答应他不用考级），空余时间就是玩。近段时间ww上呆的多了，才意识到要进好的中学“奥”必不可少，“奥”的 好是多么重要！！前几天给他找了个奥数老师，到今天为止辅导了三次，小牛感觉越来越好，如能保持下去，准备一路“奥”下去，向理想的中学挺进--挺进！！！.

好贴，顶一下！.

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引用:

原帖由 火车是运茶的 于 2008-7-26 12:04 发表
你的很多话有道理的。我也不反对小孩子玩点奥数，只是不希望奥数被神化。

现在来看看问题与工具的关系。也就是你说的“奥数就是让你用有限的工具, 想办法解决一些问题. 不要说将来如何如何, 事实上, 将来工作中碰 ...

完全同意你94楼的观点。

我们学习知识的目的是什么，就是为了解决问题。所以，从这点说，后面的帖子中转载的数学大师们提出了什么是好数学，什么是坏数学，也是以这作为评价。能解决问题越多的方法就是好数学。反之，一些方法即便再奇妙，可解决的只是个案，就是坏数学。（顺便说一声，非常感谢你推荐的书和一些转载。）

当然，fairzhu提出的学习奥数的一些初级方法可以让人的思路更开阔。也是有点道理的。但是比起学奥数在这方面花的精力来说，这种收获并不值。再回过头来说，学奥数为了什么？我觉得还是看关键，就是为了进好学校！！目的明确就行了。不要再让奥数披着开拓思路的华丽外衣了！所以要不要学奥数，值不值，就也简单了。如果奥数学得可以，凭奥数竞赛进了好的学校，那还是要说目的达到了，对不？

在要不要用方程来解奥数的一些问题，还是用其他一些搞脑子的算式来解一些通用的问题方面，可能妈妈们更多倾向于要多学点其他开拓思路，爸爸们更多倾向于用xy即可。所以，感觉上，男人就是更现实主义，女人则更理想主义。呵呵。

[ 本帖最后由 maomaofeng 于 2008-8-6 09:48 编辑 ].

谢谢你的鼓励！

后来才得知，上面推荐的两本书都已经到处缺货了。这里有没有BBMM认识少年儿童出版社的人，可以去通通气，等着买《数学方法趣引》的家长为数应该不少。

陈省身本人是数学天才，很年轻的时候便有惊人见解。王元在《陈省身文集》读后感中写道：

早在 1932 年, 他 21 岁的时候, 他就已经感觉到射影微分几何不够深刻, 认识到“大型微分几
何”, 即研究微分流形上的几何性质才是正确方向. 特别在他听了布拉施克的系列报告“微分几何的
拓扑问题”之后, 更增加了他的信心, 虽然那只是“一座美丽的高山, 还不知如何可以攀登”(见 7).
以后他一直为这一理想奋斗, 契而不舍. 在 1940 年代, 他去美国时, 微分几何很不受重视, 没有这一
选修课(见 79) , 甚至有一个数学家当面对陈先生说:“微分几何死亡了”. 但这并未影响他的信心,
终于他能给出高维流形中的高斯—博内公式的内蕴证明, 即只依赖于距离定义的证明, 粗略地说,
这一公式的古典形式是说, 曲面上的高斯曲率(是在每一点定义的局部不变量) 在曲面上的积分等
于曲面的欧拉示性数(在曲面上定义的一个整体不变量). 在陈先生的工作之前, 这一公式的推广都
是要附加条件的, 所以都是外蕴证明. 高维流形上的高斯—博内公式是整体微分几何的奠基石, 由
此导至了他引进并表述了极为重要的“陈示性类”, 这些研究是“对整个微分几何的杰出贡献, 并对
数学整体产生深远影响”(见 14) , 陈先生的工作对微分几何来说, 起到了重新振兴与开创的历史作
用(见 78, 79 等)..

后来才得知，上面推荐的两本书都已经到处缺货了。这里有没有BBMM认识少年儿童出版社的人，可以去通通气，等着买《数学方法趣引》的家长为数应该不少。
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163楼已经给大家提供D版了，看来没什么人有兴趣。
本来还想给大家提供第二本的。 .

在中学板块看到一个帖子，了解到名校理科班的一些内幕。其实也就是把奥赛当成了升学敲门砖，甚至为了备战奥赛偏废其它科目。我始终认为这种不是凭着兴趣自由探索，而是带着功利目的强化训练的做法，是很难培养出第一流的人才来的。当然，如果目标没有那么高远也无所谓；只是，可惜了。

[ 本帖最后由 火车是运茶的 于 2008-8-6 13:04 编辑 ].

这种书我觉得还是纸质的比较好吧，电子版的看着别扭。

创作科普书不容易，希望大家都来支持正版。作者、出版社、读者三方得益，良性循环，善莫大焉。

我后面还会推荐一些我认为比较好的数学普及图书。请大家耐心等上一些日子。有些书我要亲自看过。.

《可怕的科学》里几本讲数学的，就挺有趣味的，孩子应该喜欢看的.

1993年，美国有一个中小学课程改革的计划，其中数学的部分，对学生的期望是
2-4年级
通过观察得到数据，学会数字计算，建立数据图表，并应用到数据的比较与分析；
5-8年级
引入数学中的逻辑关系，讨论不同的解法，培养”简单“与”优雅“的数学习惯；
9-12年级
思考数学的用途，以及与其他学科的关联，学习建立符合实际的数学模型，挑战现代数学问题

我理解，这是一个“从实践中来，又回到实践中去”的思路，决不允许出现脱离实际的数学题目。.

引用:

原帖由 火车是运茶的 于 2008-8-6 13:03 发表
这种书我觉得还是纸质的比较好吧，电子版的看着别扭。

创作科普书不容易，希望大家都来支持正版。作者、出版社、读者三方得益，良性循环，善莫大焉。

我后面还会推荐一些我认为比较好的数学普及图书。请大家耐 ...

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引用:

原帖由 clare_gu 于 2008-7-24 16:59 发表


《可怕的科学》经典数学系列也是我儿子爱不释手的书，还向大家推荐一本《数字魔鬼》，也是很好的书，暑假中我儿子一直抱着这些书不放。

请教一下，这两本书适合多大的孩子看？.

4年级就可以了，当然不一定全看明白。.

引用:

原帖由

八月份开始，我孩 ...

幽默，补充   玛利奥.

不太清楚美国中小学数学教育思想发展的前前后后，所以不好评论。我只记得美国很早曾经有过比较激进的改革，向中小学渗透现代数学观念，例如在小学教材中传授“集合”概念。结果似乎不甚理想，但是我不知道你引用的计划跟它有无关联。

就数学本身而言，需要抽象，需要有人去研究一些看似毫无实际意义的课题，因为不知道哪一天就会发现它的应用，这样的例子不胜枚举。其实不光是数学，其它基础学科都是这样，例如物理、化学。鲜为人知的是，GPS定位系统在计算方位的时候，要考虑广义相对论的多项效应才能做到精确的定位。陈省身也举过一些例子，比如人口学的研究论文竟然处处出现圆周率，而多面体的性质研究在化学的晶体学里面大派用场。

但是我们仍然要警惕把精力浪费在“不好或者不太好的数学”上面。特别是现在全民奥数，很多自己对数学不甚了了的人也来做教练，很多奥数题或者思维训练题根本就是垃圾，既无实践指导意义，又无数学价值。人常说，要直接去读大师的著作，领悟大师的思想，而不必去解读大师的门徒的理解。156楼提到的作者张景中院士是很厉害的数学家；我把他的文章贴出来，希望能对旺网的家长们有所帮助。特别地，张院士提到要渗透函数的思想和方程的方法——我们常常提倡一题多解，其实万题一解更高明。当然，在一题多解中能够找到问题的本质，从而解决同一类的所有问题，跟万题一解便是殊途同归。

我前面批评了一类基于进位制设计的奥数题。现在要批评另外一类奥数题，数列填空或者说找规律题。这类题目常常出现在低年级的奥数或者思维训练题中。其实套路也不多，不外乎等差、等比、平方，然后再变些花样，比如每个数加上个常数，或者加上另外一个（等差）数列。这都不算太过分。比较过分的是把两个不相关的数列交错排列构成新的数列（诸如此类）。这样有意义吗？一点也没有。说白了就是为了竞赛，需要区分度，所以题目越出越偏，纯粹是为了搞脑子。结果就是了解题型的人做的出，不了解的只好看自己当天的运气了。探索的乐趣在哪里？数学的魅力在哪里？统统没有。.

各位都是业内人士-----专业的很！
不学！？咋办呢？现在数学考试都要考搞脑子的题！
唉！.

所以这个问题应该由初中老师来回答，他们为什么要把奥数作为标准来招生，初中老师一定会说是教委的意思。.

通过数学学到思想方法，而不是在题海里游泳。好的思想方法受益终身，游泳上岸后大口喘气。.

引用:

原帖由 火车是运茶的 于 2008-7-29 13:52 发表


西屋奖是对学生的考验，同时也是对老师、对学校、对家长、对教育主管部门的考验 ...

中国的大部分教师就是用禁锢创造力、创造性思维的应试教育方法教育出来的。西屋奖首先是对老师、对学校、对教育主管部门，从根本上说是对教育体制的挑战。.

引用:

原帖由 混凝土 于 2008-7-24 17:37 发表
我目前最懊恼的不是奥不奥数, 是连乘法表都背不下来....怎么才能让她开窍啊???

我们家的是逛街的时候随意教他的，一来一去，居然熟练了～～～家长可以试试.

几天来，一直追着这个帖子看，慢慢地，好象理出了个头绪。

我现在的理解是，如果不需要用奥数去敲初中的门的话，那么，就不必让孩子钻到奥数这个牛角尖里去。

我们是小一新生，所以还有时间慢慢来考虑要不要奥，希望正反两方面的同学都多多发言，让我们这些后来者对奥数有个更全面的了解。.

我认为中美两国小学数学教学的根本区别是:

美国的数学教学把复杂的概念尽量教得简单, 清楚, 明了.  再加上工具, 动手, 动脑, 直观形象.  这样小孩子脑子里清清爽爽的. 不同概念之间的关系也搞得清楚, 比如说, 加减乘除是完全相通的, 加的反面是减, 乘的反面是除, 同类相加就是乘, 多次减去同一数就是除.

而中国数学因为趣味题, 思考题, 奥数题等的引进, 尽量把简单的概念复杂化, 很搞脑子, 反而偏离了数学的核心..

我儿子三升四, 目前四则混合运算, 不同分母的分数加减, 分数/小数/百分数之间的互相转换, 小数加减乘, 负数加减等都会, 他就是学这最基本的概念. 我觉得对他的思维训练很有好处.

奥数题他没兴趣, 我也没兴趣, 觉得太搞脑子了..

引用:

原帖由 小鹿 于 2008-8-8 02:49 发表
美国的数学教学把复杂的概念尽量教得简单, 清楚, 明了.  再加上工具, 动手, 动脑, 直观形象.  这样小孩子脑子里清清爽爽的. 不同概念之间的关系也搞得清楚, 比如说, 加减乘除是完全相通的, 加的反面是减, 乘的反面是除, 同类相加就是乘, 多次减去同一数就是除.

而中国数学因为趣味题, 思考题, 奥数题等的引进, 尽量把简单的概念复杂化, 很搞脑子, 反而偏离了数学的核心.

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小学阶段:不论是男孩还是女孩,学奥数我觉得还是蛮有必要的,这样可以进一所比较好的学校,且确实也是提高了孩子的思维能力,这主要还是因为小升初没有入学考,只能用证作为敲门砖.
到了中学阶段想的是:进一所好高中外,还要想孩子的今后的发展方向,对于真正聪明的孩子应该有实力全课发展考进好学校的!
如今的社会需要的是综合性人才,而非是单课偏课或性格怪僻的专家!这一点做家长的应该清醒一下.家长是孩子最好的引路人!.

引用:

原帖由 shumi1 于 2008-8-6 13:12 发表
《可怕的科学》里几本讲数学的，就挺有趣味的，孩子应该喜欢看的

谢谢推荐 .

引用:

原帖由 小鹿 于 2008-8-8 02:49 发表
我认为中美两国小学数学教学的根本区别是:

美国的数学教学把复杂的概念尽量教得简单, 清楚, 明了.  再加上工具, 动手, 动脑, 直观形象.  这样小孩子脑子里清清爽爽的. 不同概念之间的关系也搞得清楚, 比如说, 加减 ...

这又不是中国小学基础数学的错，我国也是要求孩子把概念搞得清清楚楚的啊。没搞清楚就去搞奥数，那是家长的问题了。再说没必要为了贬低我国的数学教学，就觉得美国的好。
     你说的加减乘除是相通的，加的反面就是减。这样的理解太简单化了，从计算算式上可以这样认为，但真正的现实场景不是。
     加减法的现实意义，主要包括四个方面：(1)聚合；(2)比较；(3)增加性变化；(4)减少性变化。这四种情境之间存在重要的区别。除了现实意义的不同以及分别对应于加减这两种不同的运算之外，前两者所反映的是两个数量之间的静态关系，后两者所涉及的是同一个数量的动态变化。而当我们列出加减算式时，上述的现实情境的差异完全被忽视了，这也就是数学化的一个典型例子。
     乘除法最为重要的一些现实模型：
    (1)等量组的聚集。指若干具有相同个数元素的小组的组合，也就是通常所说的“连加”。在这一情境中，两个乘数(即以往称为的乘
数与被乘数，在此分别指小组的数目与每个小组中元素的个数)的地位并不完全对称，因此也就有两种不同的逆运算。“已知总数与小组
数，求每个小组中元素的个数”，这时以乘数作为除数，可称之为分配。“已知总数与每个小组中元素的个数，求小组数”，这时以被乘数作为除数．可称之为商除。(2)倍数问题。比如，“某种饮料中水的含量是果汁含量的3倍，现有果汁20千克，问需加配多少千克的水?”(3)配对问题。比如，“有4个男孩与3个女孩一起出去游玩，现要选取一个男孩和一个女孩外出购物，间一共有多少种可能的选取方法?”(4)长方形的面积。比如，“已知长方形的长为5厘米，宽为4厘米，问这一长方形的面积是多少?”
    在后两种情况下，两个乘数的地位是完全对称的。
    上述关于乘除法现实意义的分析并不能被看成已经穷尽了各种可能的情况。   

    加减与乘除是小学生花大量时间练习而掌握的四则基本运算，学生不仅掌握了运算技能，同时还发展了数学思维。学生是先学加减，
再学乘除，加减是乘除学习的基础。一些人认为，从加减到乘除，学生的数学思维没有发生变化。事实上，加减和乘除所涉及的数学认知是存在差异的。
    一是，加减和乘除所涉及的脑功能活动存在差异。通过脑损伤病人的研究发现，加法和乘法的损伤是可以分离的。例如，一些病人在
加法上有更大的损伤，一些病人在乘法上有更大的损伤。
    二是，加减和乘除的数学加工模型的不同。对于加法．人们主要采用数数和凑十法掌握算式，也就是通过一定的计算程序来掌握加
法。对于乘法，人们主要利用复述方法来掌握，例如，我们中国人通过背诵乘法口诀表来学习乘法。虽然从数学起源上看乘除以加减为基
础，但是乘除与加城的数学加工模型不同：加减基于一种程序技能，而乘除基于算术事实的提取。
    三是，加法算式与乘法算式的表征方式可能存在差异。加法和乘法算式表征的分离假设，即加法以视觉——阿拉伯数字表征为主，乘法以听觉一言语表征为主。在这一假设中，比较的是算式的主要编码方式，并不排除加法或乘法有其他在强度上相对比较弱的编码方式。
    四是，加减和乘除所涉及的现实情境模型的不同。

[ 本帖最后由 liuqf 于 2008-8-8 12:59 编辑 ].

谢谢你对这个问题写了这么多, 我仔仔细细地读了.

我说的加减乘除相通是从小一, 小二学生的角度去理解的.  你写的加减乘除之间的关系给小孩子看的话, 你说他们会不会看晕了?  哪怕只是把它讲给小孩子听, 我觉得也没必要这么复杂.

引用:

原帖由 liuqf 于 2008-8-8 12:53 发表

    这又不是中国小学基础数学的错，我国也是要求孩子把概念搞得清清楚楚的啊。没搞清楚就去搞奥数，那是家长的问题了。再说没必要为了贬低我国的数学教学，就觉得美国的好。
     你说的加减乘除是相通的，加的反 ...

[ 本帖最后由 小鹿 于 2008-8-8 14:54 编辑 ].

引用:

原帖由 小鹿 于 2008-8-8 14:52 发表
谢谢你对这个问题写了这么多, 我仔仔细细地读了.

我说的加减乘除相通是从小一, 小二学生的角度去理解的.  你写的加减乘除之间的关系给小孩子看的话, 你说他们会不会看晕了?  哪怕只是把它讲给小孩子听, 我觉得也没 ...

我的本意只是说明加减乘除看似简单，对小孩子来说其实是很复杂的一个认识过程。我们家长多认识一些道理，对孩子们学习中的困难和想法就会理解。不能从我们大人的角度看很简单，就认为小孩学起来也应该很简单，学校教起来也应该很简单的。.

就是因为小孩子会觉得复杂, 所以我们才要用实物来帮助理解, 尽量形象化, 具体化, 简化..

我刚才还有一些话没敢说, 一是怕显得自己脑子笨, 二是怕你听了不开心, 但你的文章虽然我认真读了一遍, 还是不大理解你的意思.  看得胡里胡涂的.  我怎么觉得你所说的加减乘除不相通的原因都不是什么本质的原因?  本质上它们就是相通的吗.  

没有想跟你抬杠的意思, 如有冒犯先道歉一下.  只是想说一下真实的读后感.

引用:

原帖由 liuqf 于 2008-8-8 15:17 发表


    我的本意只是说明加减乘除看似简单，对小孩子来说其实是很复杂的一个认识过程。我们家长多认识一些道理，对孩子们学习中的困难和想法就会理解。不能从我们大人的角度看很简单，就认为小孩学起来也应该很简单 ...

[ 本帖最后由 小鹿 于 2008-8-8 15:41 编辑 ].

我想，楼上两位的分歧主要是出发点不同引起的。

就小学低年级（一年级、二年级）的学生而言，他们尚处于发展加减乘除概念的时候。所以需要有一些现实的例子来帮助他们理解。比如liuqf说的倍数问题。这个时候可以适当区分乘数和被乘数。

为什么要说适当呢？这些算术概念一旦建立便可以自行发展。到小学高年级的时候学了方程，这时候乘数和被乘数的区别已经不明显了，惯例是常数或者参数写在未知量的前面，例如3x。这是因为在初等数学中乘法一般都是服从交换律的（反例：线性代数中的矩阵相乘不能交换），所以谁写在前面关系不大。因此，在低年级可以利用乘数和被乘数的区别来帮助孩子理解乘法的概念，但是不宜过分强调。我记得前几天还有个帖子在问应该哪个数写在乘号前面，结果是现在教的跟我们以前学的正好反过来。

学了负数，减法就可以看成加法的逆运算。学了倒数，除法就可以看成乘法的逆运算。小鹿提到的“同类相加就是乘, 多次减去同一数就是除”，在中年级例如三年级和四年级，我认为也可以讲，帮助学生从另外一个角度去理解算术。但是这种提法实际上也是有局限的。比如，1.2乘3.4，那是几个数在相加？3.4个1.2或者1.2个3.4？借助有理数的概念还可以讲清楚，比如1.2写成6/5，3.4写成17/5，就可以说是17个1.2相加再平分为5份（或者6个3.4相加再平分为5份）。如果其中一个相乘的数是无理数或者两个都是无理数呢？讲不清楚了。中学阶段的数系扩充到此为止。严格公理化定义无理数以及其上的运算，是在大学数学系里才会讲得到的。

大数学家克兰纳克（Kronecker）曾说过：“上帝创造了自然数，其余的一切皆是人的劳作。”数学里面很多东西都是人为的，但是往往能够揭示出深刻的内涵。在教学中要注意把握一个度，不要把数学教死了。.

引用:

原帖由 liuqf 于 2008-7-27 22:50 发表
从算术思维转向代数思维，不亚于我们学习数学分析从有限转为无限。小学数学学习不像中学数学多是数学方面的问题，更多的是心理学和教育学的问题。所以我现在越来越佩服小学基础数学教的好的老师，因为他们不仅仅是好的数学老师，还是好的心理学老师。

看得出来，你在心理学和教育学方面应该有一定的心得。希望看到你更多的精彩发言。也希望老师们和有经验的家长们多多交流探讨这方面的体会（这个我就实在外行了）。
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http://www.fudanpress.com.cn/root/showdetail.asp?bookid=3629

“本书是世界著名的数学科普读物.它搜集了许多经典的数学珍品，对整个数学领域中的基本概念与方法，做了精深而生动的阐述.无论是数学专业人员，或是愿意做科学思考者都可以阅读此书.特别对中学数学教师、大学生和高中生，都是一本极好的参考书.”

作者:         [美]R ·柯朗 H ·罗宾 著 I ·斯图尔特 修订
全书六百多页，印刷精美，而定价仅37元。由复旦大学出版社于05年出版。

这是一本久负盛名的数学普及著作，值得向旺网的网友们大力推荐。原书写作较早，后来I ·斯图尔特把最新的数学进展摘要增订，形成目前这个增订版。任何对数学有兴趣的朋友都可以阅读此书并从中收获乐趣，但是一定要做好动脑筋的准备。

一个好消息是，这本书没有脱销，目前在各大书店以及网上都可以买得到。

（待续）.

（续198#）

对于在课堂上吃不饱并且感到高中课程太过简单的高中生而言，本书无疑是他们扩展视野的最佳入门指引和导航明灯。我相信，书中的大部分内容都能给高中生朋友们带来真正新奇和震撼的思想。例如，定义无理数的方法，极限的思想，可数与不可数集合，尺规作图的代数化，微积分的简单介绍，等等等等，俯拾皆是。

对于大多数旺网的家长们，特别是还在辅导孩子学奥数的家长们而言，本书也是一本绝佳的数学普及读本。作为中国人熟知的“一加一”问题（哥德巴赫猜想），增订的第九章做了精彩的评述。另外，关于四色定理（即最多使用四种颜色即可给任意地图着色，使得任何两个相邻国家的颜色都不一样），本书旗帜鲜明地指出其计算机所辅助的证明是被数学家们所广泛接受的。（对此存有异议的只是某些哲学家；不幸的是，哲学家已经丧失了其在数学和自然科学中的地位——楼主）.

头皮发麻.